Número de palabras que se pueden formar con todas las letras de la palabra W, si se separan tanto Os como Is es?

Question

Tengo dificultades para resolver la 18ª pregunta del pasaje anterior.

Intento:

Lo he intentado utilizando el principio de inclusión y exclusión.

Sea n el número necesario de vías.

$n = \text{Total number of ways - Number of ways in which Os and Is are together}$

$\implies n = \dfrac{12!}{3!2!2!} - \dfrac{11!}{2!3!} - \dfrac{10!}{2!2!}+ \dfrac{9!2!}{2!} = 399 \times 8!$

Esto da $N = 399$ lo cual es un error. ¿Pueden decirme por qué estoy recibiendo la respuesta incorrecta?

Answer 1

Tu error es no darte cuenta de que las íes pueden no separarse de dos maneras diferentes: Podemos tener las tres juntas como III, pero también podemos tener II en un lugar y I en otro.

Una forma de calcular de cuántas maneras puede ocurrir esto es pensar en un par II como una sola letra, y la tercera I como una letra separada, y contar el número de palabras que podemos hacer. Esto contará cada caso de III dos veces: una como I II, y otra como II I. Así que tenemos que restar el número de estos casos una vez.

Con esta corrección, el cálculo final se convierte en $$ \overbrace{\frac{12!}{3!2!2!}}^{\text{All words}} - \overbrace{\frac{11!}{3!2!}}^{\text{O's not separate}} - \overbrace{\left(\underbrace{\frac{11!}{2!2!}}_{\text{II and I}} - \underbrace{\frac{10!}{2!2!}}_{\text{III}}\right)}^{\text{I's not separate}} + \overbrace{\left(\underbrace{\frac{10!}{2!}}_{\text{OO, II and I}} - \underbrace{\frac{9!}{2!}}_{\text{OO and III}}\right)}^{\text{Neither O's nor I's separate}} $$ que resulta ser $8!\cdot 228$ .

Answer 2

La carta $I$ aparece tres veces. Has calculado el número de formas de disponer las letras para que las tres copias de $I$ no están todos en el mismo lugar (y también los dos $O$ s están separados). Sin embargo, "separados" significa aquí que no hay dos juntos. Su recuento incluye "palabras" como STIILOCATINO, que deberían excluirse.

Answer 3

¿Cómo ha conseguido cada uno de los términos de $n$ ?

• $\frac{12!}{3!2!2!}$ : El número de formas de ordenar las letras de SOLICITUD.

• $\frac{11!}{2!3!}$ : El número de formas en que los dos $O$ s pueden estar juntos en la SOLICITUD.

• $\frac{10!}{2!2!}$ : El número de formas en que los tres $I$ s pueden estar juntos en la SOLICITUD.

• $\frac{9!2!}{2!}$ : El número de formas en que los tres $I$ s y dos $O$ s pueden estar juntos en la SOLICITUD.

Bueno, el problema es este: el complemento de este caso, también incluye el caso de que dos $I$ pueden estar juntos y el tercero puede estar separado . No has descuidado este caso, y por eso tienes una respuesta mayor que la dada.