Cómo dividir un número en $\textbf Q(\zeta_8)$ por otro?

Question

Consideremos dos números, uno es $a + b \zeta_8 + ci + d(\zeta_8)^3$ el otro es $\alpha + \beta \zeta_8 + \gamma i + \delta(\zeta_8)^3 \neq 0$ . ¿Cómo calculo $$\frac{a + b \zeta_8 + ci + d(\zeta_8)^3}{\alpha + \beta \zeta_8 + \gamma i + \delta(\zeta_8)^3}?$$ Sé que $$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i.$$

He intentado elaborar una fórmula similar para la división en $\textbf Q(\zeta_8)$ pero acabé en un lío desesperante que no me molestaré en escribir aquí. Para mí no es ningún problema calcular una aproximación numérica, pero ¿cómo obtengo una expresión algebraica $$\frac{a + b \zeta_8 + ci + d(\zeta_8)^3}{\alpha + \beta \zeta_8 + \gamma i + \delta(\zeta_8)^3} = \epsilon + \eta \zeta_8 + \theta i + \kappa(\zeta_8)^3$$ tal que $\epsilon, \eta, \theta, \kappa \in \textbf Q$ ?

Answer 1

La ecuación $N(z) = z \bar{z}$ con $N: \mathbf{Q}(i) \to \mathbf{Q}$ lo que implica $$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{N(z)}$$ se generaliza a las extensiones de Galois $L/K$ existe una norma de campo $$N_{L/K}(z) = \prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)} \sigma(z)\qquad \text{ with } \quad N_{L/K} : L \to K,$$ lo que implica $$\frac{1}{z} = \frac{w}{N_{L/K}(z)} \qquad \text{ where } \quad w = \prod_{\operatorname{id}\neq\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)} \sigma(z)\bigg.$$

En este caso tenemos $L=\mathbf{Q}(\zeta_8)$ , $K=\mathbf{Q}$ el polinomio mínimo de $\zeta_8$ es $X^4 + 1$ y $$\operatorname{Gal}(L/K) = \{\zeta_8\mapsto\zeta_8,\ \ \zeta_8\mapsto\zeta_8^3,\ \ \zeta_8\mapsto\zeta_8^5 = -\zeta_8,\ \ \zeta_8\mapsto\zeta_8^{7} = -\zeta_8^3\}.$$

Así que para $z= \alpha+\beta\zeta_8+\gamma\zeta_8^2+\delta\zeta_8^3$ de hacer este cálculo.

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Para ahorrar tiempo podemos hacer el cálculo en SageMath:

L.<zeta8> = CyclotomicField(8)
R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(L)
z = a + b*zeta8 + c*zeta8^2 + d*zeta8^3
w = prod(z.map_coefficients(sigma) for sigma in L.galois_group() if not sigma.order() == 1)
N = w*z
w_vect = sum(vector(R,p)*q for (p,q) in list(w))

A partir de los valores de w_vect y N vemos $$w = (a^3 - b^2c + ac^2 + 2abd + cd^2) + (-a^2b + bc^2 - b^2d - 2acd - d^3)\zeta_8 + (ab^2 - a^2c - c^3 + 2bcd - ad^2)\zeta_8^2 + (-b^3 + 2abc - a^2d + c^2d - bd^2)\zeta_8^3$$ y $N_{\mathbf{Q}(\zeta_8)/\mathbf{Q}}(z) = a^4 + b^4 - 4ab^2c + 2a^2c^2 + c^4 + 4a^2bd - 4bc^2d + 2b^2d^2 + 4acd^2 + d^4.$

Comprobémoslo para estar seguros:

sage: (w_vect[0] + w_vect[1]*zeta8 + w_vect[2]*zeta8^2 + w_vect[3]*zeta8^3)*z == N
True

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Un ejemplo, a petición del Sr. Brooks: para calcular $\frac{\zeta_8-\zeta_8^3}{\zeta_8+\zeta_8^3}$ ponemos $z = \zeta_8+\zeta_8^3$ y calcula $$\begin{align*}w &= (\zeta_8^3+\zeta_8^9)(-\zeta_8-\zeta_8^3)(-\zeta_8^3-\zeta_8^9)\\ &= (\zeta_8+\zeta_8^3)^3\\&=\zeta_8^3 + 3\zeta_8^2\zeta_8^3 + 3\zeta_8\zeta_8^6 + \zeta_8^9\\&= \zeta_8^3 - 3\zeta_8 - 3\zeta_8^3 + \zeta_8\\ &= -2(\zeta_8 + \zeta_8^3)\end{align*}$$ y $$N_{L/K}(z) = wz = -2(\zeta_8 + \zeta_8^3)^2 = -2(\zeta_8^2 + 2\zeta_8\zeta_8^3 + \zeta_8^6) = -2(\zeta_8^2 - 2 - \zeta_8^2) = 4$$ así que $$\frac{1}{z} = \frac{w}{N_{L/K}(z)} = -\frac{1}{2}(\zeta_8+\zeta_8^3).$$ (Esto es lo mismo que poner $(a,b,c,d) = (0,1,0,1)$ en las fórmulas anteriores).

Por fin: $$\frac{\zeta_8-\zeta_8^3}{\zeta_8+\zeta_8^3} = (\zeta_8-\zeta_8^3)\cdot\frac{1}{z} = -\frac{1}{2}(\zeta_8-\zeta_8^3)(\zeta_8+\zeta_8^3) = -\frac{1}{2}(\zeta_8^2 - \zeta_8^6) = -\zeta_8^2.$$

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Todo lo anterior es válido en un campo numérico abstracto $L= \mathbf{Q}(\zeta_8)$ donde $\zeta_8$ es una raíz de $X^4+1$ . Si elige la incrustación $L\to\mathbb{C}$ dado por $\zeta_8 \mapsto \exp(2\pi i/8)$ entonces, por ejemplo, el ejemplo calcula $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-2}} = -i.$$

Answer 2

Esto equivale a lo mismo que sugirió Ricardo Buring (+1), pero puede ser más fácil de seguir.

Su denominador es de la forma $$z_1+z_2\xi,$$ donde $z_1=\alpha+\gamma i$ y $z_2=\beta+\delta i$ son dos elementos de $\Bbb{Q}(i)$ tal que al menos uno de ellos sea distinto de cero. Utilicemos el hecho de que $\xi^2=i$ : $$ \frac1{z_1+z_2\xi}=\frac{z_1-z_2\xi}{(z_1+z_2\xi)(z_1-z_2\xi)}= \frac{z_1-z_2\xi}{z_1^2-z_2^2\xi^2}=\frac{z_1-z_2\xi}{z_1^2-iz_2^2}. $$ Después de este paso preliminar, el denominador es un elemento distinto de cero de $\Bbb{Q}(i)$ , para que sepas cómo continuar con el cálculo.

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Aprovechaba que el grupo de Galois correspondiente tiene un subgrupo adecuado, lo que me permitía calcular primero la norma relativa del denominador a un subcampo intermedio. No hay mucho que hacer. Observemos además que hay ocasiones en las que no existen campos intermedios. Por lo tanto, este no es un remedio universal. O bien utilizar la norma como Ricardo hizo. O, utilice el algoritmo general del comentario de Lord Shark el Desconocido bajo la pregunta.

Answer 3

Una forma equivalente de ver esto puede ser a través del isomorfismo dado al mirar cada elemento de $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ como un mapa lineal de un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ .

Al igual que los complejos ordinarios son isomorfos a las matrices $$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}, $$ el campo $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ es isomorfa a las matrices $$ M = \begin{pmatrix} a & -d & -c & -b \\ b & a & -d & -c \\ c & b & a & -d \\ d & c & b & a \\ \end{pmatrix}, $$ donde las entradas están en $\mathbb{Q}$ (fácil de observar observando el efecto de $a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3$ en el $(1, \zeta_8, \zeta_8^2, \zeta_8^3)$ utilizando el $\zeta^4_8 = -1$ fórmula de reducción).

El determinante $\det M$ es igual a la norma de un elemento en $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ en $\mathbb{Q}$ en otras respuestas aquí y la fórmula habitual de inversión de matrices $\operatorname{adj}(M)/\det(M)$ de adjunto sobre determinante te da los coeficientes de la inversa multiplicativa (por supuesto, sólo necesitas calcular la primera columna del adjunto). La relativa complicación de la fórmula de inversión de la matriz explica por qué estas expresiones algebraicas son tan complicadas, incluso para una matriz relativamente estructurada como ésta.