¿Qué hace una simetría que cambia el Lagrangiano por un derivado total al Hamiltoniano$H$?

Question

Una pequeña simetría transformación puede cambiar el Lagrangiano $L$ por un tiempo total derivada de alguna función $f$. Este es un hecho básico utilizado en la prueba del teorema de Noether.

¿Cómo podemos ver el efecto total de este término derivado en el marco de Hamilton? Es un buen ejemplo para trabajar? Yo no puedo pensar en nadie fuera de la parte superior de mi cabeza. Simplemente me parece extraño que todo este alboroto sobre el total de los derivados parecen desaparecer en el marco de Hamilton.

Answer 1

I) Descargo De Responsabilidad. Como un purista, no apruebo la praxis común para llamar a la implicación $$ \tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$ para un 'Hamiltonianos versión del teorema de Noether', cf. mi Phys.SE responde aquí y aquí. Mi razón es que la implicación (1) no es más que una consecuencia trivial de las ecuaciones de Hamilton, nada más.

II) por el contrario, un 'Hamiltonianos versión del teorema de Noether" debe referirse a la cuasi-simetrías de un Hamiltoniano de acción $$ S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t), \tag{2}$$ y sus correspondientes leyes de conservación. Aquí $L_H$ es el llamado Hamiltoniano de Lagrange $$ L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{3}$$

III) es un malentendido que todo ese alboroto sobre el total de productos derivados [...] desaparece en el marco de Hamilton. El Hamiltoniano de una versión para el Hamiltoniano de acción sólo pueden ser invariantes hasta el límite de términos (es decir, un llamado cuasi-simetría) al igual que en el estándar de Lagrange formulación del teorema de Noether. Ver también esta relacionada con Phys.SE post.

Answer 2

Supongo que me di cuenta de la "respuesta" a mi pregunta vaga, aunque las otras respuestas aquí también son útiles. El "Hamiltoniana de Lagrange" es

$$ L = p_i \dot q_i - H. $$ Digamos que tenemos una conserva de cargo $Q$, que es $$ \{P, H\} = 0. $$ Si hacemos la pequeña variación simetría $$ \delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} \hspace{1cm} \delta p_i = - \frac{\partial Q}{\partial q_i} $$ entonces \begin{align*} \delta L &= - \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) + \{ H, Q\} \\ &= - \frac{\partial Q}{\partial p_i} \dot q_i - \dot p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big) \end{align*}

Así que podemos ver que $L$ necesariamente cambia por un total de derivados. Cuando la cantidad de $p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q = 0$, el total de derivados es $0$. Esto ocurre cuando la cantidad conservada es de la forma $$ Q = p_i f_i(q). $$ Tenga en cuenta que en el caso anterior, $$ \delta q_i = f_i(q) $$ Es decir, la simetría de las transformaciones que no "mezclar" la $p$'s con la $q$'s no tienen total término derivado en $\delta L$.

Answer 3

La razón por la que no se habla de "cambiar el Hamiltoniano por un total de derivados", es porque simetrías y leyes de conservación son generalmente manejados de manera diferente en el Hamiltoniano de la imagen.

En Hamiltoniana de la mecánica, cualquier función de $f$ sobre el espacio de fase genera un flujo en el espacio de fase, es decir, una familia de un parámetro de transformaciones canónicas $(q, p) \to (\tilde{q}(\alpha), \tilde{p}(\alpha))$. La inducción de la tasa de cambio de cualquier otro espacio de fase de la función de $g$ es $$\frac{dg}{d\alpha} = \{g, f\}.$$ En particular, el Hamiltoniano genera la propia traducción en tiempo, $$\frac{dg}{dt} = \{g, H\}.$$ La declaración de que $Q(q, p)$ es una cantidad conservada es simplemente $$\{Q, H\} = 0.$$ Es decir, el tiempo de evolución generada por $H$ no cambia el valor de $Q$. La clave es que esto es equivalente, por la antisymmetry de la distribución de Poisson soporte, a $\{H, Q\} = 0$, que indica que las transformaciones canónicas generadas por $Q$ no cambiar los valores de $H$.

Así, dada una infinitesimal canónica de la transformación que mantiene a $H$ de la misma, su generador es una cantidad conservada. Esta es la cosa más cercana a la del teorema de Noether, por lo general, ver en Hamiltoniana de la mecánica. Ya que se refiere sólo a $H$, no el integral de $H$, no hay necesidad de hablar acerca de mantener a $H$ invariante hasta un total de derivados -- tiene que ser invariantes, período. (Pero vea también Qmechanic la respuesta, acerca de una acción-como la formulación de donde ella aparece.)