Estoy buscando una manera de definir la Riemann zeta función de $\zeta(s)=\sum_{n\in\Bbb N_0}n^{-s}$ en todo el plano complejo, sin tener que hacer uso de continuación analítica, o quizás más exactamente, de una manera que puede ser escrito como una sola fórmula. (En principio, una continuación analítica puede ser escrito como una fórmula, pero nadie parece hacerlo de esta manera, y siempre terminan apelando a los dibujos en el final). La fórmula que va a hacer, incluso una tramos uno, siempre hay una relativamente elemental prueba de que la expresión es igual a $\sum_{n\in\Bbb N_0}n^{-s}$ al $\Re[s]>1$ (y para limitar los trozos de soluciones que sólo el uso de la definición estándar en esta región, usted debe también deben ser capaces de mostrar que se trata de una extensión razonable de alguna manera, es decir, la continuidad o la analiticidad).
Mi actual mejor apuesta es la Laruent de expansión sobre el polo en $s=1$ (en términos de Stieltjes constantes):
$$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(s-1)^n}{n!}\!\!\lim_{m\to\infty}\left[\sum_{k=1}^m\frac{(\ln k)^n}k-\frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right]$$
Sin embargo, era incapaz de encontrar una prueba en línea de la igualdad de esta expresión a la estándar, y espero que la prueba más involucrados. ¿Alguien tiene alguna sugerencia para obtener más viable fórmulas para $\zeta(s)$?
