Solución integral con funciones de bessel esféricas

Question

Me gustaría encontrar, si es posible, una solución (forma cerrada) para la siguiente integral:

PS

donde$$\frac{1}{2 \pi}\cdot\int\limits_0^{2\pi}\exp\bigg[-ia(\cos x+\sin x)\bigg]\,j_{0}(b\cos x)\,j_{0}(b\sin x)\,\mathrm dx$ son constantes reales positivas y$a,b$ es la función de bessel esférica de orden cero ($j_{0}$). ¿Alguien tiene una sustitución inteligente o una integral conocida que pueda ayudarme a encontrar la solución?

Answer 1

Me gustaría señalar que los j_0 son simplemente sin y / y, por lo que puede volver a escribir los numeradores como proporcionales a exp [ib cos x] - exp [-ib cos x]. Entonces, la integral entera involucrará solo exponenciales complejas y 1 / (b cos x * b sin x). Luego puede sacar a y b para tener factores de la forma exp [i cos x] ^ b. Un cambio de la variable u = cos x convertirá esto a exponenciales más simples y simplificará el denominador; Qué resultados es sencillo de integrar.