¿Por qué los bosones de Goldstone? (Una pregunta sobre VEVs)

Question

Entiendo cómo funciona el mecanismo de ruptura de simetría espontánea, y por qué produce bosones de Goldstone (para simetrías globales) y bosones de calibre masivo (para las locales).

Sin embargo, no entiendo por qué identificamos los bosones de Goldstone como lo hacemos. Tomemos el modelo lineal sigma por ejemplo. ¿Por qué decimos que los campos $ \phi ^n$ no son físicos, mientras que los campos $ \phi ^n - v^n$ son?

Tengo la sensación de que es una especie de definición de que un campo físico debe tener un valor de expectativa de vacío cero. Al menos para ser interpretado como una partícula, es decir. ¿Pero por qué es este el caso? ¡No es un axioma de Wightman, hasta donde yo sé!

Hay una pregunta relacionada aquí pero las respuestas no son lo suficientemente rigurosas para mi gusto. En particular, ambas se basan en la afirmación de que "las partículas son pequeñas oscilaciones alrededor del vacío".

Prefiero saber que el VEV cero es un principio físico, o ver una prueba de que de alguna manera el VEV cero se deriva de un requisito físico. La otra pregunta parece tratar de lo contrario.

¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Estoy de acuerdo en que la definición "las partículas son una pequeña oscilación alrededor del vacío" no es correcta, es un intento de aplicar el razonamiento semiclásico a través de la integral de trayectoria a la QFT.

Sin embargo, no significa nada que un campo sea "físico", los campos no son físicos. Son una herramienta computacional que nos permite asegurar que las amplitudes que escribimos son locales y causales. Por lo tanto, el VNC no puede ser un principio físico, ni puede derivarse de él. La pregunta física es: ¿Respeta el vacío de la teoría la simetría en cuestión? Si la respuesta es no, la consecuencia física es que existen excitaciones sin masa.

Para ver un ejemplo de esto, considere el teorema de redefinición del campo de la matriz S. La reducción LSZ básicamente te dice que no importa qué operador de campo utilices para hacer los cálculos, siempre y cuando los dos campos se solapen en los estados de 1 partícula y compenses tu elección con un factor de normalización adecuado y pongas líneas externas en el caparazón (esto se explica adecuadamente en Weinberg vol 1).

La definición de la matriz S implica una especificación de los estados asintóticos. Específicamente, se asume que los estados asintóticos son estados de 1 partícula de algún hamiltoniano libre (normalmente se asume que es el hamiltoniano sobre el que se está perturbando, aunque esta suposición falla para teorías como la QCD en el IR). En particular, se asume un estado de vacío particular a partir del cual se pueden construir excitaciones de partículas utilizando operadores de creación asociados al hamiltoniano libre.

Así que, aunque no importa el campo que utilices para calcular los correlacionadores, para que la reducción LSZ funcione tienes que poner los estados externos en la cáscara. Dado que entiendes cómo funciona el LSZ, sabes que puedes demostrar de muchas maneras diferentes que debe haber una partícula sin masa en el espectro.

Así que la cuestión es la siguiente: no es que el campo sin VEV sea más "físico" que el campo normal, esto es una afirmación sin sentido. Pero si lo que se pretende es leer las masas de los estados externos desde el lagrangiano de nivel de árbol se estará haciendo un cálculo erróneo a menos que algunos de los campos de la lagrangiana no tengan masa. Si has asumido que el SSB ha ocurrido y el vacío ya no es un singlete, entonces necesitas usar m=0 cuando calculas las amplitudes para la dispersión del modo goldstone. Y necesitas que las otras reglas de Feynman sean consistentes con esta regla de Feynman. Así que haces la expansión a la que te refieres para poder derivar reglas de Feynman que traten consistentemente el estado externo como sin masa y describan consistentemente las otras interacciones. Si no haces esto, estás haciendo un cálculo erróneo, utilizando estados asintóticos que no existen realmente en tu teoría.

Espero que esto ayude.

Answer 2

No creo que lo que dices sea cierto. Los VEV son físicos, y en principio (es decir, si se hace el cálculo de forma no pertubada), no hay necesidad de expandir el campo alrededor del VEV. Normalmente, la expansión es útil en una imagen de campo medio, en la que se asume que las fluctuaciones alrededor del VEV son pequeñas, y por tanto la física se describe bien manteniendo sólo los términos cuadráticos en la fluctuación.

Por ejemplo, escribamos el potencial como $V(\phi)=\lambda(\phi^2-v_0^2)$ (Sólo hablaré del modelo O(2), con $\phi^2=\phi_1^2+\phi_2^2$ ). Este potencial tiene un mínimo en un campo medio nivel en digamos $\phi_1=v_0$ . Sin embargo, debido a las fluctuaciones, el valor real del VEV, es decir $\langle \phi\rangle$ tiene un valor diferente, llámalo $v$ (¡que puede ser cero!).

Si la fluctuación es pequeña, podemos expandir el potencial alrededor de su mínimo, es decir $\phi=\langle \phi\rangle+\delta\phi$ . Nótese que, a priori, no hay necesidad de hacerlo, si se es lo suficientemente inteligente como para calcular todo de forma no pertubada. A nivel de campo medio, $\langle \phi\rangle=v=v_0$ y la expansión de orden dos en $\delta\phi$ dará lugar al modo habitual de la piedra de oro, más un modo de amplitud (a lo largo de la dirección 1), que está bien definido y tiene una masa de orden $\lambda v_0$ . Si se quiere calcular ahora los efectos de la fluctuación más allá del campo medio, todavía se quiere expandir el potencial alrededor de su verdadero mínimo, orden por orden en la teoría de perturbaciones, es decir $\langle \phi\rangle=v$ orden por orden, lo que significa $\langle \delta\phi\rangle=0$ orden por orden. El VEV del campo real es no cero, es $v$ . Es el VEV del "campo de fluctuación" que es cero, por definición.

Por último, observemos que no hay ninguna razón a priori para que el modo de amplitud se mantenga bien definido (en particular en el acoplamiento fuerte). Es decir, es muy posible que el acoplamiento entre la amplitud y el modo de la piedra de oro haga que cambien completamente sus propiedades, de manera que no podamos decir que hay una partícula bien definida. De hecho, eso es exactamente lo que ocurre, ya que se puede demostrar que en realidad $ \langle \delta\phi_1(p)\delta\phi_1(-p)\rangle^{-1}\to p^{4-d}$ como $p\to 0$ ¡!