Por lo que sé, el producto directo de los grupos $G_1, \dots , G_n$ es el grupo cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano y la operación se realiza por componentes. No me queda claro qué es una suma directa de grupos $G_1, \dots ,G_n$ significa realmente. En la Wikipedia parece que el término "suma directa" se utiliza para referirse al producto directo de grupos abelianos.
Se agradecería alguna aclaración.
El suma directa de una familia $\{G_i:i\in I\}$ de grupos es el mismo que el producto directo cuando $I$ es finito. Cuando $I$ es infinito, sin embargo, la suma directa es un subgrupo propio del producto directo: es el conjunto de $g\in\prod_{i\in I}G_i$ tal que $g_i=1_{G_i}$ para todos los casos, excepto para un número finito de $i\in I$ .
Además, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es la coproducto mientras que el producto directo es el producto . A grandes rasgos, esto significa que es fácil construir mapas de el coproducto pero a el producto.
Además, hay que tener en cuenta que el conjunto $\prod_{i\in I}G_i$ es un grupo cuyos elementos son todos vectores $(g_k)$ en el producto cartesiano y cuya operación es $(g_k)+(g'_k)=(g_k+g'_k)$ .
@Babak: Eso mismo ocurre con la suma directa. La diferencia es que en la suma directa, todos los elementos, excepto los finitos, de la $g_k$ y $g_k'$ son la identidad en $G_k$ .
Existe el producto directo no restringido y el restringido. Me parece que lo más habitual (por ejemplo, como en el post de Brian Scott) es llamar "producto directo" al no restringido y "suma directa" al no restringido, pero algunas personas (sobre todo Russian) llaman "producto directo" al restringido y "producto cartesiano" al no restringido. También hay gente (como Serre) que dice que la "suma directa" no tiene sentido porque no es un coproducto en la categoría de grupos (a diferencia del producto directo no restringido de módulos sobre un anillo dado). Además, creo que hubo un intento de Bourbaki de promover "suma libre" para que significara "producto libre", pero parece que "producto libre" es casi universal ahora.
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