¿Es el barrio un conjunto abierto?

Question

Estoy leyendo un libro donde está escrito que ,

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico cualquiera $a \in X$ entonces para cualquier $r \gt 0$ el conjunto $S_r(a)$ ={ $x \in X$ : $d(x,a) \lt r$ } se llama una bola abierta de radio $r$ centrado en $a.$ & Deje que $(X,d)$ sea un espacio métrico cualquiera y $x \in X$ . Un subconjunto $N{(a)}$ de $X$ se llama vecindad de un punto $a$ si existe una bola abierta $S_r(a)$ centrado en $a$ y contenida en $N{(a)}$ es decir $S_r(a)$ $\subseteq$ $N{(a)}$ .

Pero en Rudin ,se da que en un espacio métrico $X$ un barrio de $a$ es un conjunto $N_r(a)$ que contiene todas las q tales que $d(a,q) \lt r$ para algunos $r \gt 0$ el número $r$ se denomina radio de $a$ . Según la definición de Rudin todo barrio es un conjunto abierto. Pero según el texto que estoy leyendo, ¿dice que todo barrio es un conjunto abierto?

Answer 1

Hay diferentes nociones de vecindades flotando por ahí. Por lo general, se denomina vecindades abiertas al planteamiento de Rudin para evitar confusiones. Mientras que la que acabas de citar es simplemente la definición ordinaria de vecindad (si la gente utiliza siempre vecindades abiertas en lugar de vecindades, suele decirlo en la introducción). En general, un barrio de $x$ es sólo un conjunto $X$ tal que contiene un conjunto abierto $U$ con $x \in U$ .

En particular, cada barrio contiene un barrio abierto, por lo que pasar de los barrios generales a los abiertos contenidos en ellos no es demasiado difícil. Sin embargo, pasar a vecindades cerradas en una determinada vecindad es más difícil y es una de las razones por las que se prefiere tener un Hausdorff regular (también conocido como $T_3$ ) espacios.

Answer 2

Está claro que no. Toma $X = \mathbb R$ con la métrica habitual, entonces $(-1, 1]$ contiene una bola $(-1/2, 1/2)$ centrado en $0$ Así que $(-1, 1]$ es una vecindad de $0$ pero no está abierto.