Resolver

Question

Resuelve$x^2+tx'+x=0$

esto es claramente una ecuación de Bernoulli, así que hago una sustitución$z=\frac 1 x$ $$x=\frac 1z$$$ x'=\frac {-z'}{z^2}\frac {1}{z^2}-\frac {tz'}{z^2}+\frac 1 z=0% #% $$$1-tz'+z=0$$$ $z+1=tz'$ $$$log|z+1|=log|t|+C$$$ $z=Ct+1$ $

Pero la respuesta real a esto es$$x=\frac {1}{Ct+1} Wolfram alpha también muestra la segunda respuesta, así que mi pregunta es dónde cometí un error, y si no lo hice, ¿por qué estas dos soluciones difieren tanto?

Answer 1

$$z+1 = t\, z'$ $ da:$$ \frac{z'}{z+1}=\frac{1}{t}, $$\log(z+1) = \log(t)-C,$$$ $z+1 = t\, e^{-C},$ $$$ z = t\, e^{-C} -1,$$$ $x = \frac{1}{t\,e^{-C}-1} = \frac{e^C}{t-e^C}.$ $

Answer 2

En el paso de forma $\log$'s (no debe haber escrito $\log{|t|} + C$ en el rand lado también) a $z = Ct + 1$. Usted debe obtener la $z+1 = A t$ (no puede utilizar el mismo símbolo para la nueva constante) y, a continuación, $$x =\frac{1}{At -1}\text{.}$$

Ahora, si se multiplica enumerador y el denominador de la RHS por la constante $\frac{1}{A}$, se obtiene, si $A>0$, WolframAlpha es forma, porque no existe tal $c\in\mathbb{R}$ que $e^C = A$. Desde Una constante en nuestro caso también puede ser negativo, WolframAlpha la solución no es completamente derecho. Tenga en cuenta que $A$ puede ser igual a cero. En el caso de que usted obtenga la solución de $x = -1$ todos los $t\in \mathbb{R}$. También, jugando con los diferenciales, hemos perdido una solución de $x = 0$ todos los $t\in \mathbb{R}$.