Explicando $\cos^\infty$

Question

Me di cuenta de algo extraño, mientras que jugando en mi calculadora.

$$\lim_{x\to \infty} \cos^x(c)=0.7390851332$$ Where $c$ es una constante real.

Mi calculadora en radianes y me dieron este número simplemente tomando el coseno de muchos números una y otra vez. No importa qué número puedo usar yo siempre terminan con ese número. ¿Por qué sucede esto y de dónde viene este número?

Answer 1

Lo que han encontrado es el único, atractivo punto fijo de $\cos(x)$.

Para más información sobre este punto, y en estos términos, véase el este (MathWorld) y este (Wikipedia).

Answer 2

Esta es la única solución real $r$$\cos(x) = x$.
Para cualquier $x \ne r$ tenemos $|\cos(x) - r| = \left|\int_{r}^x \sin(t)\ dt\right| < |x - r|$. Esto implica que $r$ es un atractor global para esta iteración.

Answer 3

Como ya se ha discutido en otros hilos:

¿Cuál es la solución de cos(x)=x?

La solución de $2x - \sin 2x = \pi/2$ $0 < x < \pi/2$

fhe punto fijo de $\cos(x)$ (es decir, el Dottie número) puede ser escrita como una solución particular de la ecuación de Kepler, por lo que también puede ser expresado como:

$$ DottieNumber=\sum_{n=1}^\infty \frac{2J_n(n)}{n} \sin\left(\frac{\pi n}2\right)= 2\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{J_{4n+1}(4n+1)}{4n+1} - \frac{J_{4n+3}(4n+3)}{4n+3}\right)$$

donde $J_n(x)$ son funciones de Bessel.

Answer 4

El número es

$$\alpha=\frac1\pi \int_0^{\pi } \arctan\left(\tan \left(\frac{t-\sin t+\frac{\pi }{2}}2\right)\right) \, dt+\frac{1}{\pi }$$

Answer 5

la solución a cos(x)=x, también conocido a veces como el número de dottie