¿Por qué un conjunto no puede tener dos elementos del mismo valor?

Question

Supongamos que tengo dos conjuntos, $A$ y $B$ :

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ B = \{1, 1, 2, 3, 4\}$$

Establecer $A$ es válida, pero establece $B$ no lo es porque no todos sus elementos son únicos. Mi pregunta es, ¿por qué los conjuntos no pueden contener elementos duplicados?

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Editar : Después de leer algunas de las respuestas y los comentarios, establecer $B$ es válida, sólo es igual a la de abajo en lugar de la de arriba.

$$B = \{1,2,3,4\}$$

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Nota: todo esto se basa en lo que Aprendí Así que esto puede parecer fácil para algunos, o incluso incorrecto, pero es una pregunta a la que realmente me gustaría encontrar la respuesta.

Answer 1

La respuesta corta y quizás insatisfactoria es: porque así son definido . La respuesta larga es que, en la mayoría de los casos, eso es lo que útil .

Para otros casos, también hay una teoría construida en torno a multisets que son como los conjuntos, excepto que permiten la multiplicidad.

Answer 2

Yo diría que $B$ es válido e igual a $\{1, 2, 3, 4\}$ .

La notación $B = \{1, 1, 2, 3, 4\}$ da $B$ enumerando sus elementos:

$1 \in B$

$1 \in B$

$2 \in B$

$3 \in B$

$4 \in B$

Claramente diciendo dos veces que $1 \in B$ es inofensivo.

Esta es la axioma de extensionalidad dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Answer 3

No pienses en 1 y 1 como "dos elementos del mismo valor". Son el mismo elemento realmente. Y un elemento es miembro de un conjunto o no lo es.

Answer 4

Informalmente, el "conjunto" de miembros de tu casa debe tener un tamaño bien definido, y el número de apodos que tenga una persona no es importante para ese conjunto.

Simplemente se ha acordado por convención que no importa cuántas etiquetas para la misma cosa nos pruebe con para incluir en un conjunto, el conjunto sólo contiene las cosas en sí. Se refiere a 1 dos veces, pero eso es sólo repetir el nombre de la cosa, y por definición, el conjunto sólo contiene las cosas mismas.

Answer 5

Si tuviéramos un "set $U$ se define como $\{1,2,3\}$ , ¿podríamos tener otro conjunto $V = \{1,1,2,3\}$ donde $U\neq V$ ?

Sí. Podemos hacerlo, pero el uso de esta notación lo hace ambiguo y desagradable.

Tenemos que tener cuidado con lo que queremos decir cuando decimos $=$ . Dejemos que $=_S$ denotan una relación de equivalencia sobre conjuntos, y $=_n$ sea la relación de equivalencia habitual de los números.

Es perfectamente coherente hablar de $U,V$ pero si lo escribimos así hemos etiquetado todo usando la relación más débil $=_n$ haciendo un gran lío. Te mostraré lo que quiero decir:

Si $a,b$ son dos distinto elementos en $V$ donde $a=_n 1$ y $b=_n 1$ entonces $a=_nb$ . Además, si elegimos el $c \in U$ donde $c=_n1$ entonces $a =_n b =_n c$ .

Queremos $U\neq _S V$ , por lo que debemos tener que $\{a\} \neq_S \{b\}$ . No tenemos ni idea de si $\{c\}=_S \{a\}$ o $\{b\}$ . De hecho, puede que ni siquiera sea igual (en el sentido de conjunto) a ninguno de ellos.

Con este conocimiento podemos reetiquetar el $1$ s en nuestros conjuntos: $U=\{1_c, 2, 3\}$ y $V=\{1_a, 1_b, 2, 3\}$ . Pero todavía no tenemos ni idea de si $1_c$ como elemento del conjunto es lo mismo que $1_a$ o $1_b$ . Lo mismo puede decirse de $U$ 's $2$ y $3$ vs $V$ 's $2$ y $3$ .

Con esta notación no tenemos ni idea de cómo $=_S$ funciona comparando elementos entre conjuntos.

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He aquí una forma mejor de hacerlo. En lugar de preocuparse por la relación de conjunto, defina U y V utilizando un índice .

Para empezar, aclara que cada vez que escribas $a_i$ , $i\in \mathbb{N}$ , usted está hablando de la exactamente el mismo objeto $a_i$ en cualquier contexto . Esto obliga a la siguiente propiedad: $\{a_i\} =_S \{a_i\}$ .

Ahora defina $a_1 =_n 1\in \mathbb{N}; a_2 =_n 1 \in \mathbb{N}; a_3 =_n 2 \in \mathbb{N}; a_4 =_n 3 \in \mathbb{N}$ y que $U=\{a_1, a_2, a_3, a_4\}, V=\{a_2, a_3, a_4\}$

Lo que realmente hemos hecho ahora es crear una función a partir del conjunto $\{1,2,3,4\}\subset \mathbb{N}$ en el conjunto $\{1,2,3\}\subset\mathbb{N}$ y definió $U, V$ en términos de esa función. Bajo esta descripción, el $=_S$ está bien definida.