¿Hay una expresión de forma cerrada para esta suma anidada?

Question

¿Hay una expresión de forma cerrada para esta suma anidada?

PS

En caso afirmativo, ¿qué es y cómo puede derivarse?

Answer 1

La convención habitual con la suma signo $\sum$ es que el $\sum_{k=p}^q a_k:=0$ si $q<p$. Esto tiene el efecto siguiente: Dado un $i$ $1\leq i\leq n$ el siguiente índice variable $j$ tiene que satisfacer $$i+1\leq j\leq\min\{n, n+1-i\}=n+1-i\ .$$ Esto implica entonces que la variable $i$, de hecho, tiene que satisfacer $2i\leq n$, o $$1\leq i\leq\left\lfloor{n\over2}\right\rfloor\ .$$ Dado $i$ $j$ con estas limitaciones el interior de la suma se convierte en $$\sum_{k=i+j-1}^n 1=n+2-i-j\ .$$ La siguiente suma ( $j$ ), a continuación, se convierte en $$A_i:=\sum_{j=i+1}^{n+1-i}(n+2-i-j)$$ y ha $n+1-2i$ términos. De ello se sigue que $$A_i=(n+1-2i)\>{1\over2}\>(n+2-2i)\qquad\bigl(1\leq i\leq\lfloor n/2\rfloor\bigr)\ .$$ Aquí hemos usado que la suma de un número finito de aritmética de la serie es el número de términos veces la media aritmética de sus ultraperiféricas términos. A partir de ahora tenemos que distinguir los casos de pares e impares $n$.

Si $n=2m$ luego de Mathematica produce $$s(n)=\sum_{i=1}^m A_i={4m^3+3m^2-m\over6}={n(2n^2+3n-2)\over 24}\ .$$ Si $n=2m+1$ modo $$s(n)=\sum_{i=1}^m A_i={4m^3+9m^2+5m\over6}={2n^3+3n^2-2n-3\over 24}\ .$$

Answer 2

Eligiendo experimentalmente un pequeño valor de $n$ y la escritura a mano en un simple $i-j$ cuadrícula de los valores de la recóndita suma, queda claro que:

• Si $n=2m$:

$$\begin{align}S(n)=S(2m)&=\sum_{s=1}^m \sum_{r=1}^{2s-1}r=\sum_{s=1}^m\binom {2s}2\\ &=\frac 16m(m+1)(4m-1)\end{align}$$

• Si $n=2m+1$:

$$\begin{align}S(n)=S(2m+1)&=\sum_{s=1}^m \sum_{r=1}^{2s}r=\sum_{s=1}^m\binom {2s+1}2\\ &=\frac 16m(m+1)(4m+5)\end{align}$$

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El de arriba también puede derivarse de la siguiente manera:

Considerando cada una de las $i,j$ combinación en turno y los límites correspondientes en $k$ (o como señaló Christian Blatter en su solución), es claro que los límites aplicables de $i,j$ son más estrechos $\color{red}{\text{(shown below in red})}$ que en la pregunta original, como el interior de suma no puede ser negativo, según se especifica en la condición en la Iverson corchetes $\color{lightblue}{\text{(shown below in light blue)}}$.

• Si $n=2m$: $$\begin{align} \sum_{i=1}^n\;\;\sum_{j=i+1}^n\sum_{k=i+j-1}^n1 &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(n-i-j+2)\color{lightblue}{[n-i-j+2\ge0]}\\ &=\sum_{i=1}^{2m}\sum_{j=i+1}^{2m}(2m-i-j+2)\color{lightblue}{[2m-i-j+2\ge0]} &&\text{putting }n=2m\\ &=\sum_{i=1}^\color{red}m\sum_{j=i+1}^{\color{red}{2m-i+1}}(2m-i-j+2) &&\text{using applicable limits}\\ &=\sum_{i=1}^m\sum_{r=1}^{2(m-i+1)-1}r && \text{putting }2m-i-j+2=r\\ &=\sum_{s=1}^m\sum_{r=1}^{2s-1}r\end{align}$$

El caso de $n=2m+1$ puede ser mostrado usando un método similar.

Answer 3

Sugerencia: la estrategia de solución general es resolver primero la suma más interna, ampliarla y repetir el procedimiento.

Para resolver el uso de sumas.

$\sum_{k=1}^n k = (n(n+1))/2$,

$\sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$,

$\sum_{k=1}^n k^3 = (n^2(n+1)^2)/4$.