No puedo entender por qué la afirmación de Ahlfors es verdadera (aislamiento de puntos singulares)

Question

En Ahlfors complejos de análisis de texto, página 264, él escribe:

Al $\Omega$ es todo el avión $F(\zeta)$ ha aislado singularidades en$\zeta = 0$$\zeta=\infty$.

La lectura de los apartados anteriores, supongo que $\Omega \subset \mathbb C$ es una región invariante bajo las traducciones $z \mapsto z+ \omega,z \mapsto z- \omega$ donde $\omega \in \mathbb C$ es una constante. $F(\zeta)=f(z)$ donde $\zeta=\exp(2 \pi i z/ \omega)$, e $f$ es algo de meromorphic de la función en $\Omega$. También se denota que la imagen de $\Omega$ bajo$\zeta(z)$$\Omega'$.

Aquí está (lo que me parece a mí como) un contraejemplo para Ahlfors declaración:

Construir una función $f(z)$ meromorphic en $\Omega=\mathbb C$ con periodos de $\omega, i \omega$,$\omega \in \mathbb R$, cuyos polos forman el entramado $\{m \omega+i n \omega:m,n \in \mathbb Z \}$. La secuencia de los polos $\{i \omega n\}_1^\infty$ $z$- plano corresponde a la secuencia de los polos $\{e^{-2 \pi n} \}$ $\zeta$- plane, que tiende a ser el punto de $\zeta=0$.

Esto demuestra que $\zeta=0$ es no una singularidad aislada de $F(\zeta)$, (la situación en $\infty$ es idéntico).

Es mi razonamiento correcto, o es Ahlfors razón después de todo? Si estoy equivocado, por favor, muéstrame por qué.

Gracias!

Answer 1

Tienes razón: $0$ $\infty$ no necesita ser aislado. Como Ahlfors mismo dice en la última frase de la 1.1, cada meromorphic mapa en $F:\mathbb C\setminus\{0\}$ surge de algunos $f$, es decir, de $f(z)=F(\exp(2\pi i z/\omega))$. Una función de meromorphic en $\mathbb C\setminus\{0\}$ fácilmente puede tener polos de acumulación de a $0$ o $\infty$, o ambos.

Como una solución, omitir "aislado" de la citada sentencia, y tal vez de suavizar a "puede tener las singularidades", porque la declaración "tiene singularidades", se lee como una clara indicación de algunos singular comportamiento.