Es $\mathbb Z[ \sqrt{-3}]$ ¿UFD?

Question

Es $\mathbb Z[ \sqrt{-3}]$ ¿ UFD ? Si es así, ¿por qué? $$4=2 \times 2 = (1+\sqrt{-3}) \times (1-\sqrt{-3} )$$ y todos los términos son irreducibles?

Answer 1

Creo que su sospecha es correcta. Por otra parte, el cierre integral de $\mathbf{Z}$ en $\mathbf{Q}(\sqrt{-3})$ es el anillo más grande $\mathbf{Z}[\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}]$ ya que $-3 \equiv 1 \bmod{4}$ . Este es norma euclidiana y, en particular, una UFD. Nótese que todos los UFDs son integralmente cerrados, por lo que esta es otra forma de ver que $\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$ no tiene una factorización única.

Answer 2

PARA SU INFORMACIÓN, $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ no sólo no es un UFD, sino que es el único orden imaginario de un anillo cuadrático de enteros algebraicos que tiene la propiedad semifactorial (Teorema 2.3), es decir, dos factorizaciones cualesquiera de una no unidad no nula tienen el mismo número de irreducibles.