¿Qué quieres?

Question

¿Por qué una integral$$\int \frac{dx}{1-x^2}$$ with the limitless (undefined) interval equal to $$\frac 12\ln\frac{1+x}{1-x},$$ yet an integral $$\int\limits_{\sin(-5π/12)}^{\sin(5π/12)}\frac{dx}{1-x^2}$$ with an interval from $ \ sin \ frac {-5π} {12}$ to $ \ sin \ frac {5π} {12}$ has $$\ln\frac{1+\sin\frac{5π}{12}}{1-\sin\frac{5π}{12}}$ $ sin un medio adjunto a ln?

Answer 1

$$\int\limits_{\sin(-5π/12)}^{\sin(5π/12)}\frac{dx}{1-x^2}=\left.\frac12\log\frac{1+x}{1-x}\right|_{\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)}^{\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)}=\frac12\log\frac{1+\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)}{1-\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)}-\frac12\log\frac{1+\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)}{1-\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)}=$$$$ {} $$

PS

Pero entonces...

PS

Answer 2

No lo sé, pero la explicación es realmente trivial. La segunda es una integral simétrica definida en torno a$x=0$ o, en general, tiene un porcentaje positivo de$r < 1$.

PS

Espero eso ayude.

Answer 3

Ganaste un factor de dos porque se cumplieron tres condiciones:

1. Su integrand$f$ es simétrico alrededor de cero.
2. La antiderivada$F$ que eligió tiene un valor cero en cero.
3. En su integral definida, los límites de integración son simétricos alrededor de cero.

Dados estos, obtendrá $$ \ int _ {- a} ^ af (x) \, dx \ stackrel {(1,3)} = 2 \ int_0 ^ af (x) \, dx = 2 [F (a) -F (0)] \ stackrel {(2)} = 2F (a). $$

Answer 4

PS

PS

PS

Tenga en cuenta que$$\int \frac{dx}{1-x^2} = $ $

Por lo tanto$$\frac {1}{2} \int \bigg(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \bigg) dx =$ $

PS

PS

PS

Answer 5

Desde ya hay buenas respuestas explicando el cálculo de la integral definida, permítanme señalar lo que considero una falta de comprensión de la integral indefinida, por lo tanto responder a la OP pregunta ¿por qué.

La primitiva o integral indefinida es no una función, sino una representación de un conjunto de funciones, todas ellas cuando se diferencian producir la función original bajo el signo integral. Todas estas funciones difieren por una constante, y es por eso que el cálculo de la integral indefinida se expresa normalmente por la elección de cualquiera de estos primitivos además de una constante $C$, es decir: $$\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac 12\ln\frac{1+x}{1-x}+C$$ pero también se puede escribir: $$\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac 12\ln \left(2\frac{1+x}{1-x}\right)+C$$ puesto que estas dos primitivas difieren por una constante.

Ahora usted puede calcular una integral definida por la regla de Barrow: $$\int_a^bf(x) dx=F(b)-F(a)$$ donde $F'(x)=f(x)$, es decir, $F$ es cualquier primitiva o, si se quiere, la primitiva con cualquier valor de la constante de $C$.

Ya que usted es libre de elegir el valor de $C$, el "aspecto" de las primitivas pueden ser engañosas con respecto al valor de la integral definida, a menos que llevar a cabo todos los detalles de cálculo.