Los polinomios tienen menor grado.

Question

Estoy interesado en el siguiente problema.

Problema 1. Encontrar el polinomio P (x) tiene coeficientes enteros, no es racional raíces, con el menor grado tal que para cada entero positivo $m$ existe un entero positivo tal que $$m \mid P (a). $$ En el caso de $\deg P = 2$, el uso de residuos cuadráticos, podemos ver que no puede pasar.

En el caso de $\deg P = 4$, tengo la respuesta (uso de residuos cuadráticos).

Por lo tanto, necesito una respuesta para el caso de $\deg P = 3$, es decir, el siguiente problema.

Problema 2. Deje que el polinomio $ P (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d$, $a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb Z$ e $a \ne 0 $, $ P (x) $ es irreducible en a$ \mathbb Z [x] $. Demostrar que existe un entero positivo $ m $ tal que $$m\nmid P(n),\quad\forall\,n\in\mathbb N^*.$$

Answer 1

Parece que esto es un corolario de la Chebotarev densidad teorema. Ver, por ejemplo, estas notas, Ex. 7.2(b): Deje $ f \in \mathbb Z[X]$ ser un polinomio irreducible con la propiedad de que $(f \mod p)$ tiene un cero en $\mathbb F_p$ para todos, pero un número finito de números primos $p$. Demostrar que $f$ tiene el grado $1$.

En particular, en el problema 2, hay una infinidad de números primos que trabajan para $m$.