Evaluar

Question

El problema es, como se ha dicho:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{\sin^2(x)}$ $ Por supuesto, ayb son números reales.

Intenté implementar la identidad trigonométrica:

PS

Pero eso realmente no me llevó a ningún lado. En mi libro, los problemas similares a menudo se resolvían de esta manera, pero aquí no parece funcionar.

Obviamente, uno tiene que intentar usar el límite conocido para reducirlo a un límite más fácil:

PS

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La identidad dada en su pregunta es útil para evaluar el límite: como$x\to 0$ tenemos$$\frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{\sin^2(x)} = -2\frac{\frac{\sin\frac{(ax-bx)}{2}}{x}\cdot \frac{\sin\frac{(ax+bx)}{2}}{x}}{\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{x}}\to -2\frac{\frac{a-b}{2}\cdot \frac{a+b}{2}}{1\cdot 1}=\frac{b^2-a^2}{2}$ $ donde usamos el hecho de que para cualquier real$\alpha$,$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\alpha x)}{x}=\alpha\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\alpha x)}{(\alpha x)}=\alpha\cdot 1=\alpha.$ $

Answer 2

\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{\sin^2x}&=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sin^2x}\cdot\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x^2}\\&=\frac{b^2-a^2}2\end {align} desde$$\cos(ax)-\cos(bx)=-\frac12(a^2-b^2)x^2+o(x^2).$ $

Answer 3

PS

Dado que$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{\sin^2(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{\sin^2(x)}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2}\\=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1- \cos(ax)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1- \cos(bx)}{x^2}=\frac{ b^2-a^2}{2}$ $$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1- \cos(x)}{x^2}=1/2$ $

Answer 4

Sugerencia para finalizar el enfoque en la pregunta $$ \ frac {\ cos (ax) - \ cos (bx)} {\ sin ^ 2 (x)} = 2 \ frac {\ sin \ left (\ frac {ba} 2 \, x \ derecha)} {\ sin (x)} \ frac {\ sin \ izquierda (\ frac {b + a} 2 \, x \ derecha)} {\ sin (x)} $$

---

Sugerencia para otro enfoque $$ \begin{align} \frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{\sin^2(x)} &=\frac{1-\cos(bx)}{\sin^2(x)}-\frac{1-\cos(ax)}{\sin^2(x)}\\ &=\frac1{1+\cos(bx)}\frac{\sin^2(bx)}{\sin^2(x)}-\frac1{1+\cos(ax)}\frac{\sin^2(ax)}{\sin^2(x)} \end {align} $$

Answer 5

Estás en el camino correcto,

PS

Debería ser obvio ahora.