La secuencia se aleja de$0$ y$2$

Question

Supongamos que tengo una secuencia de números reales $\{a_n\}_n$ y me han dicho que $\{a_n\}_n$ se apartó de$0$$2$.

(1) ¿Qué significa exactamente? Mi pensamiento es que significa $a_n\neq 0$ y $a_n \neq 2$ $\forall n$.

(2) implica que el $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n \neq 0$ $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n \neq 2$ (suponiendo que el límite existe)?

Pregunta (2) está relacionada con la discusión sobre el reescalado de las tasas en p.211 de van der Vaart "Asintótico" Estadísticas de punto (iii) aquí donde parece que la respuesta a (2) es "Sí"

Answer 1

Al estar alejado de$b$, significa que hay un intervalo no trivial alrededor de$b$, por lo que la secuencia nunca ingresa.

En particular, si una secuencia está delimitada de$b$, entonces no puede converger a$b$. Más generalmente,$b$ no puede ser un punto límite de la secuencia.

Answer 2

En términos generales, significa que la secuencia$\{a_n\}$ no se acerca a$0$ o a$2$. Existe un$\delta>0$ tal que$|a_n-0|=|a_n|>\delta$ para cada$n$ y existe un$\varepsilon>0$ tal que$|a_n-2|>\varepsilon$ para cada$n$. El límite no puede ser$0$ o$2$ si la secuencia está delimitada.