Construyendo un grupo simple con un número específico de% de% de Sylow $p$- subgrupos

Question

He estado estudiando para mis exámenes finales, y me encontré con la siguiente pregunta:

Si es posible, dar un ejemplo de un simple grupo de $G$ $n>1$ Sylow $p$-subgrupos que el orden de $G$ no divide $n!$. Si no es posible, explique brevemente por qué.

Ahora, no me tomó mucho tiempo para pensar en el siguiente "numérica" ejemplo: un grupo de orden $60=2^2\cdot3\cdot5$ donde hay $3$ Sylow $2$-subgrupos. Mi pregunta es si no existe el grupo, y si lo hace, ¿hay alguna forma más sencilla de describir estos grupos basados en el conocimiento de cómo la Sylow estructura está construida?

En el intento de describir el grupo anterior, creo que me demostró que ella no puede existir. Esto es porque no tiene que ser $4$ Sylow 3-subgrupos o $10$ Sylow 3-subgrupos. El segundo caso conduce a una contradicción ya que entonces no tendría que ser $k$ Sylow de 5 subgrupos tal que $k(5-1)=30$, y de la misma manera, en el primer caso, nos encontramos con que tendríamos que tener 13 Sylow de 5 subgrupos, también una contradicción. Esto es correcto y no hay una manera fácil de determinar si un grupo existe o no?

Answer 1

La respuesta es no.

Deje $C$ el conjunto de sylow $p$ subgrupos de $G$. Es fácil comprobar que el mapa de $G\times C\rightarrow C$ que envía a $(x,H)$ $xHx^{-1}$es una acción de $G$$C$. Por la órbita estabilizador teorema, sabemos que: $$\forall H\in C[|C||N(H)|=|G|]$$ Desde $1<|C|$, podemos deducir que $|N(H)|<|G|$ para todos los $H\in C$....(1)

Por sylow del teorema sabemos que la función de $T_x:C\rightarrow C$ que envía a $H$ $xHx^{-1}$es una permutación de $C$. Ahora, considere el homomorphism $\phi:G\rightarrow S_C$ que envía a$x$$T_x$.

Reclamo: $\phi$ es una inyección.

Prueba: sabemos que $\operatorname{Im}\phi\cong G/\ker\phi$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $|\ker\phi|=1$. Esto es fácil de ver debido a que $\ker\phi\unlhd G$, ya que el $G$ es simple, por lo tanto, $\ker\phi=\{e\}$ o $\ker\phi=G$. Deje $H\in C$, es fácil comprobar que $\ker\phi \leq N(H)$. Por lo tanto, si $\ker\phi=G$, se concluye que el $N(H)=G$. Sin embargo, sabemos que a partir de (1) $N(H)$ es un buen subgrupo de $G$. Por lo tanto, por fin podemos deducir que $\ker\phi=\{e\}$.

Por lo tanto, $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_C$ (El grupo de permutaciones de $C$). Por lo tanto, $|G|\,\Big|\,|S_C|!=n!$