Una pregunta sobre los subconjuntos densos

Question

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico. Sea $A$ y $B$ sean subconjuntos densos de $M$ tal que $A$ está abierto. Entonces demuestre que $A \cap B$ es denso en $M$ . Estoy realmente atascado en este problema. Cualquier sugerencia o solución será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $U \subset M$ sea cualquier subconjunto abierto no vacío. Dado que ambos $U$ y $A$ están abiertos, también lo está $U \cap A$ . Pero como $A$ y $B$ son densos en $M$ tenemos $U \cap A \neq \emptyset$ , $U \cap B \neq \emptyset$ y también $(U \cap A) \cap B = U \cap (A \cap B) \neq \emptyset$ y hemos terminado, porque $U$ era arbitraria (y abierta) con intersección no vacía con $A \cap B$ .

Tenga en cuenta la importancia de $A$ estar abierto, de lo contrario $U\cap A$ no lo haría. Como contraejemplo, tomemos $M = \mathbb{R}$ , $A = \mathbb{Q}$ y $B = \mathbb{R - Q}$ . Ninguno de $A$ y $B$ están abiertos, aunque son densos en $\mathbb{R}$ . Tenemos $ A \cap B =\mathbb{Q} \cap (\mathbb{R - Q}) = \emptyset$ que obviamente no es denso en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

En estos problemas lo único que hay que hacer es tomar un gran respiro:

Tome un elemento $s \in M$ . Desde $A$ es densa entonces existe una secuencia $a_n \in A$ tal que $a_n\rightarrow s$ . Porque $A$ es abierto, existen bolas abiertas $B_n(a_n,e_n)\subset A$ (con centro $a_n$ y el radio $e_n$ ). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $e_n \rightarrow 0$ (mostrar esto).

Desde $B$ es denso existe una secuencia $b_n$ en $B$ tal que para cada $n$ tenemos $b_n \in B_n$ .

Porque $e_n\rightarrow 0$ tenemos sombrero $d(b_n,a_n)\rightarrow 0$ y porque $a_n \rightarrow s$ también lo hace $b_n$ .

Hemos terminado, ya que, por construcción, $b_n$ se encuentra tanto en $B$ y $A$ .

Answer 3

Un conjunto es denso en $M$ si y sólo si interseca todo subconjunto abierto no vacío de $M$ .

Dejemos que $U \subseteq M$ sea un conjunto abierto arbitrario no vacío. La intersección $U \cap A$ es no vacía ya que $A$ es denso en $M$ y también está abierto ya que ambos $U$ y $A$ están abiertos.

Entonces $$U \cap (A \cap B) = \underbrace{(U \cap A)}_{\text{nonempty open set}} \cap B$$ es no vacía ya que $B$ es denso en $M$ .

Answer 4

Primero demuestre el lema importante (cl = cierre)
abierto U implica U cl A subconjunto cl(U A).

Por lo tanto, A = A $\cap$ cl B subconjunto cl(A $\cap$ B).
De ahí que M = cl Un subconjunto cl(A $\cap$ B).