Cuatro círculos tocándose el uno al otro en una superficie esférica

Question

El diagrama anterior muestra cuatro círculos idénticos, cada uno con una tv de radio $r$ (es decir, plana de área $\pi r^2$), tocándose el uno al otro en seis puntos diferentes (es decir, cada uno de los cuatro círculos idénticos toca descanso de tres en tres puntos diferentes) en una superficie esférica con un radio de $R$. Cómo averiguar el radio de $R$ (de esfera) en términos de radio $r$ (de los círculos)? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Los seis puntos en donde un par de círculos se tocan son los vértices de un octaedro regular, con cada cara inscrito en uno de los círculos. Recogiendo estos vértices a ser el estándar de los vectores de la base y sus puntos negativos, es fácil expresar el radio de $R$ de la esfera como un múltiplo de la radio de $r$ de los círculos.

Answer 2

Los seis puntos de intersección de cualquier par de círculos de dar un octaedro con lado de longitud $\sqrt{3}\, r$. Desde el octaedro se inscribe en la esfera, $$\sqrt{3}\,r = \sqrt{2}\,R$$ se sigue del teorema de pitágoras.