$\ln(n+a)-\ln(n-a)=2(\frac an+\frac{a^3}{3n^3}+\frac{a^5}{5n^5}+\dots)$

Question

Mostrar que $$\ln(n+a)-\ln(n-a)=2\left(\frac an+\frac{a^3}{3n^3}+\frac{a^5}{5n^5}+\dots\right)$$ He tratado de escribir $$\ln(n+a)-\ln(n-a)=\ln\frac{n+a}{n-a}=\ln\left(1+\frac{2a}{n-a}\right)$$ y, a continuación, la aplicación de la serie de Maclaurin de $\ln(1+x)$ pero no podía llegar a nada.

Answer 1

Sabemos que $$\log(n+a)-\log(n-a)=\log n+\log\left(1+\frac an\right)-\log n-\log\left(1-\frac an\right)=\\=\log\left(1+\frac an\right)-\log\left(1-\frac an\right)$$ A continuación, usando la serie de Taylor tenemos: $$\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}a^k}{kn^k}-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}(-a)^k}{kn^k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}a^k}{kn^k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{a^k}{kn^k}=\color{red}{\sum_{k=0}^\infty\frac{a^{k+1}}{(2k+1)n^{2k+1}}}$$

Answer 2

Empezar con $$ \ln (n+a) = \ln n + \ln \left( 1 + \frac un \right) = \ln n + \frac an - \frac 12 \left(\frac \right)^2 + \frac 13 \left(\frac \right)^3 - \frac 14 \left(\frac \right)^4 + \ldots \, , $$ el uso de la serie de MacLaurin para $\ln (1+x)$. Luego haga lo mismo para $\ln (n-a)$ y combinar los resultados.

Tenga en cuenta que usted necesita $n > 0$ $|a| < n$ de estos desarrollos.