Prueba de una desigualdad

Question

Si $a$, $b$, $c$ son los números reales positivos, demostrar que $$\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c} + \frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a} + \frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b} \geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$$

Answer 1

La desigualdad es homogénea, podemos establecer $a+b+c = 1$, dicen. A continuación, tenemos que mostrar la cíclico de la suma: $$\sum_{cyc} \frac{1+\sqrt{a}}{1-a} = \sum_{cyc} \frac1{1- \sqrt a} \ge \frac{9+3\sqrt3}2$$

Para mostrar esto, es suficiente para mostrar que $$f(x) = \frac1{1-\sqrt x} - \frac{3+\sqrt 3}2 - k(\tfrac13-x) \ge 0$$ para algunos $k \in \mathbb R$$x \in (0, 1)$, ya que la desigualdad es equivalente a $f(a)+f(b)+f(c) \ge 0$.

Nos encontramos con que $k = \frac34(3+2\sqrt 3)$ obras, como entonces $$f(x) = \frac{(3 + 2 \sqrt3) \left(\sqrt3 - 3 \sqrt x \right)^2 (-3 + 2 \sqrt3 + 3 \sqrt x)}{36(1 - \sqrt x)} \ge 0, \quad \forall x \in (0, 1)$$