¿La ecuación de Heisenberg para los campos y canónica de los impulsos mantenga, así como para la densidad hamiltoniana operador en lugar del operador Hamiltoniano?

Question

En la teoría cuántica de campos, con el campo de $\phi$ y el impulso a$\pi$ siendo los operadores, su evolución en el tiempo de que se trate (en el de Heisenberg-foto) de la ecuación de Heisenberg:

\begin{align} \dot{\phi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{H}, \phi] \\ \dot{\pi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{H}, \pi]. \\ \end{align}

Ahora, en caso de que el operador Hamiltoniano $\hat{H}=\int d^3x ~\hat{\cal H}$ se puede escribir como una integral sobre la densidad hamiltoniana $\hat{\cal H}$, y los campos y en el momenta de conmutar a la no-igualdad de posiciones, hacer las mismas ecuaciones mantenga así con el operador Hamiltoniano de ser reemplazado por su densidad? ¿Qué sería de las advertencias?

\begin{align} \dot{\phi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{\cal H}, \phi] \\ \dot{\pi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{\cal H}, \pi]. \\ \end{align}

Answer 1

1. La respuesta es No. Para empezar dimensional de razones. Una densidad lleva dimensión $L^{-3}$.

2. En la clásica (en contraposición a la cuántica), es tentador (al menos parcialmente) incorporar OP sugerencia para funcionales $$ F~=~\int \! d^3x~f(x), \qquad G~=~\int \! d^3x~g(x), \tag{1} $$ por el cambio en la definición de la norma de campo de la teoría canónica de Poisson soporte $$\{ F, G\} ~:=~\int_V \! d^3x ~\left(\frac{\delta F}{\delta \phi (x)}\frac{\delta G}{\delta \pi (x)}-\frac{\delta F}{\delta \pi (x)}\frac{\delta G}{\delta \phi (x)} \right) ~=~\int_V \! d^3x ~\{\!\{ f(x),g(x)\}\!\} \etiqueta{2}$$ a un mismo-$x$ corchete de Poisson $$ \{\!\{ f(x),g(x)\}\!\} ~:=~\frac{\delta f(x)}{\delta \phi (x)}\frac{\delta g(x)}{\delta \pi (x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta \pi (x)}\frac{\delta g(x)}{\delta \phi (x)}, \tag{3} $$ donde $\delta f(x)/\delta \phi (x)$ denotar un mismo espacio-tiempo funcionales derivados, véase, por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí. En otras palabras, la no-cero fundamentales de los corchetes de Poisson leer $$\{ \phi(x),\pi(y) \} ~=~\delta^3(x\!-\!y)\qquad\text{y}\qquad \{\!\{ \phi(x),\pi(x) \}\!\} ~=~1,\la etiqueta{4}$$ es decir, el mismo-$x$ Poisson soporte (3) se define sin una delta de Dirac de distribución. Sin embargo, en la $x$local $\{\!\{\cdot,\cdot\}\!\}$ formalismo (3) igualdad de signos normalmente sólo tienen modulo total spacetime términos derivados.

Answer 2

Ha $\hat{H} = \int d^3x \hat{\tilde{H}}(x)$. Que implica que las Relaciones canónicas será ligeramente alterado.

Para un campo Cuántico Operador $\hat{\phi}(x',t)$ distribuido en el espacio $x'$ y el tiempo de $t$, tendrá una relación como la siguiente:

$[\hat{\tilde{H}}(x),\hat{\phi}(x',t)] = \frac {\partial}{\partial t} \hat{\phi(x',t)} \delta(x-x')$.

La función Delta factor que asegura no sólo la conmutación de los Operadores para nonequal Puntos en el espacio; también que después de la Integración en el espacio, el ordinario Relaciones de conmutación se obtiene