¿Cómo puede usted realmente hacer álgebra universal con las mónadas?

Question

En lugar de cavar profundamente en la "clásica" álgebra universal, parece más interesante o útil mirar álgebra universal categóricamente. Este debe ser factible con las mónadas, ya que cada categoría de universal álgebras es isomorfo a la categoría de $T$-álgebras, donde $T$ es la composición de la correspondiente gratis y olvidadizo functor.

La pregunta es: ¿Cómo puede esto ser prácticamente hecho? ¿Cómo puedo categóricamente definir cosas como cocientes, el subalgebra de una $T$-álgebra generada por un algo, o lo que significa para un morfismos para preservar subalgebras?

Hay al menos un tipo conocido de mónadas para que estos funcionan las cosas (bastante más grande que el de la clase de álgebra universal-mónadas en $\mathsf{Set}$ del curso)? Hay textos que lidiar con esto?

Answer 1

El papel Reconocible Lenguas en las Mónadas por Mikolaj Bojańczyk, contiene algunas definiciones que pueden adaptarse a sus necesidades. Las citas de este documento:

Una monada de más de una categoría se define como un functor $T$ desde el categoría a sí mismo, y para cada objeto $X$ en la categoría, dos morfismos $\eta_X :X \to TX$$\mu_X :TTX \to TX$, los cuales son llamados la unidad y la multiplicación de las operaciones. La mónada debe satisfacer la los axiomas (...)

Un Eilenberg-Moore álgebra en una mónada $T$, o, simplemente, $T$- álgebra, es un par $\mathbf{A}$ consta de un universo $A$, que es un objeto en la categoría de subrayar la mónada, junto con una multiplicación morfismos $\text{mul}_\mathbf{A} :TA \to A$, de tal manera que $\text{mul}_\mathbf{A} \circ \eta_A$ es la identidad, y que es asociativa en el sentido de que el siguiente diagrama conmuta: $$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \newcommand{\dal}[1]{\subir.5ex\llap{\scriptstyle#1}\bigg\downarrow} \begin{array}{c} TTA & \ra{\mu_A} & TA \\ \dal{T\text{mul}_\mathbf{A}} & & \da{\text{mul}_\mathbf{A}} \\ TA & \ras{\text{mul}_\mathbf{A}} & A \\ \end{array} $$