¿Es la topología del límite inferior más fina que la topología estándar en $\mathbb{R}$ ?

Question

¿Es la topología del límite inferior más fina que la topología estándar en $\mathbb{R}$ ?

En el Lemma 13.4 de la p.82 de la obra de Munkres Topología (2 nd ed.), se afirma que la topología del límite inferior es (estrictamente) más fina que la topología estándar en $\mathbb{R}$ . En el argumento utiliza que el intervalo $[a,b)$ se encuentra en el intervalo $(a,b)$ lo cual no es cierto. Por otra parte, lo contrario es cierto, es decir: $$(a,b) \text{ lies in the interval } [a,b).$$

Por tanto, podemos concluir que la topología estándar es más fina que la topología de límite inferior. ¿Estoy en lo cierto? Si no es así, ¿por qué? Creo que es una errata. He comprobado algunas erratas existentes en línea, pero no está incluido, sin embargo.

Answer 1

Sí. Ya que uno tiene que $$ (a,b) = \cup_{n\ge 1} \ [a+\frac{\epsilon}{n},b) $$ donde $\epsilon < \frac{b-a}{2}$ .

Obsérvese que si para la topología ${\mathcal T}_1$ con base ${\mathcal S}_1$ y topología ${\mathcal T}_2$ se tiene que ${\mathcal S}_1 \subseteq {\mathcal T}_2$ entonces ${\mathcal T}_2$ es más fino que ${\mathcal T}_1$ . En este caso, si ${\mathcal S}_2$ sea una base para la topología ${\mathcal T}_2$ y ${\mathcal S}_2 \not\subseteq{\mathcal T}_1$ entonces ${\mathcal T}_2$ es estrictamente más fino que ${\mathcal T}_1$ Para ello, basta con señalar que $[0,1)$ no está abierta en topología estándar.

Para más detalles, puede consultar este libro de texto: James Munkres, "Topología; un primer curso".

Answer 2

Bueno, no tengo a mano un ejemplar del libro de Munkres pero dudo que se diga.

Si $[a,b)$ está abierto, entonces $(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[ a+\frac{1}{n},b\right)$ debe estar abierto.

A la inversa, $[0,1)$ no está abierta en la topología estándar.

Esto significa que la topología en $\mathbb{R}_l$ es más fina que la topología de $\mathbb{R}.$