Suma de los coeficientes en una multinomial expresión.

Question

P: La suma de todos los coeficientes de los términos en la expansión de $(x+y+z+w)^{6}$ que contengan $x$ pero no $y$ es:

Lo que traté de hacer fue hacer dos pares de términos y expandir como un binomio de expresión y, a continuación, de nuevo expandir el binomio en el resultado de la serie, lo cual me dio una expresión con muchas incógnitas y me quedé atrapado.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué sucede si usted evaluar su expresión en $x=1,y=0,z=1,w=1$? Y en $x=0,y=0,z=1,w=1$?

Answer 2

$$(x+y+z+w)^6=\{y+(x+w+z)\}^6=\cdots+(x+w+z)^6$$

$$(x+w+z)^6=\sum_{r=0}^6\binom6rx^{6-r}(w+z)^r$$

Necesitamos $r\ne6$

La suma de los reuqired coeficientes debe ser $\sum_{r=0}^5\binom6r(1+1)^r$ (ajuste $x=w=z=1$)

$$=\sum_{r=0}^6\binom6r2^r-\binom662^6=(1+2)^6-2^6$$

Answer 3

P: La suma de todos los coeficientes de los términos en la expansión de $(x+y+z+w)^{6}$ que contengan $x$ pero no $y$ es:

Suma de los términos con que no y : $3^6$ (y=0 resto 1)
Suma de los términos con no y no x: $2^6$ (x,y)=0 resto 1)
Suma de los términos con que no y pero x: $3^6-2^6=665$ (reste la de arriba)