$[X,Y]$ es el homotopy clases de mapas de $X$ $Y$ $[X,Y]_0$es la base de homotopy clases de mapas base. Si $Y$ es la ruta de acceso conectados e $\pi_1(Y)$ es abelian, entonces es la inclusión $$[X,Y]_0 \hookrightarrow [X,Y]$$ un bijection?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
guruz
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Esto es falso, si usted permite que sus espacios a ser demasiado salvaje. Por ejemplo, supongamos $H$ ser el Hawaiano Pendiente de espacio y deje $Y=C(H)$ ser el cono en $H$. A continuación, $Y$ ha trivial (de ahí abelian) grupo fundamental. $H$ tiene un punto especial $h_0$ donde todos los círculos convergen. Dejamos $h_0$ ser el punto de referencia $H$ y también de $C(H)$ si consideramos,$H$, naturalmente, incluye en $C(H)$. Considere los dos mapas de $f_1,f_2\colon H\to C(H)$ donde $f_1$ es la inclusión $H\subset C(H)$ $f_2$ es la constante de mapa de $h\mapsto h_0$. Estos son libremente homotópica, ya que ambos pueden ser arrastrado hasta el cono punto, pero me dicen que no están homotópica rel punto de base. Esto se deduce de la obra de Cañón y Conner, quien mostró que el espacio de obtener por encolado dos copias de $C(H)$ junto $h_0$ ya no contráctiles. Si usted podría contrato $C(H)$$h_0$, mientras que la preservación del punto de base, a continuación, que muestran el Cañón-Conner ejemplo es contráctiles. (Véase el Cañón y Conner "En los grupos fundamentales de una dimensión de los espacios" en la Figura 2.)
