La partición de conjuntos

Question

Pregunta:

Considere la posibilidad de establecer $A= \{ 1, 2, 3, ..., n\}$. Para qué valores de a $n$ $A$ se divide en 3 subconjuntos $A_1, A_2, A_3$, de tal manera que la suma de los elementos de cada uno de ellos son iguales?

Mi Intento:

Para el conjunto de $A$ a ser dividido en la forma indicada, la suma de todos los elementos de a $A$ debe ser divisible por $3$. Así, una condición necesaria es:

$1 + 2 + .. + n = n(n+1)/2 \equiv 0 $ mod $3$

lo que implica $n = 3t $ o $n = 3t-1$ por entero $t>2$

En el juicio, con valores de t a a $t=11$, encontré que, en cada caso, $A$ puede ser dividido de acuerdo a las condiciones dadas. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Respuesta parcial: Para $n=3t$ definir los conjuntos: $$A_1 = \{1+6k:1\leq 1+6k\leq n\}\cup \{6k:1\leq 6k \leq n\}=\{1,6,7,12,13,\ldots \}$$ $$A_2 = \{2+6k:1\leq 2+6k\leq n\}\cup \{5+6k:1\leq 5+6k \leq n\}=\{2,5,8,11,14,\ldots \}$$ $$A_3 = \{3+6k:1\leq 3+6k\leq n\}\cup \{4+6k:1\leq 4+6k \leq n\}=\{3,4,9,10,15,\ldots \}$$

Edit: la Adición de la solución completa. Para $n=3t-1$ tomar: $$A_1 = \{5+6k:1\leq 5+6k\leq n\}\cup \{6k:1\leq 6k \leq n\}=\{5,6,11,12,17,\ldots \}$$ $$A_2 = \{1+6k:1\leq 1+6k\leq n\}\cup \{4+6k:1\leq 4+6k \leq n\}=\{1,4,7,10,13,\ldots \}$$ $$A_3 = \{2+6k:1\leq 2+6k\leq n\}\cup \{3+6k:1\leq 3+6k \leq n\}=\{2,3,8,9,14,\ldots \}$$

Answer 2

Usted podría utilizar la inducción con una forzada inductionhypothese.

Vamos a ser que hay particiones $\{A_1^{(n)},A_2^{(n)},A_3^{(n)}\}$ $\{B_1^{(n)},B_2^{(n)},B_3^{(n)}\}$ de $\{1,\dots,n\}$ tal que $$\sum_{k\in A_1^{(n)}}k=\sum_{k\in A_2^{(n)}}k=\sum_{k\in A_3^{(n)}}k$$ and $$\sum_{k\in B_1^{(n)}}k<\sum_{k\in B_2^{(n)}}k<\sum_{k\in B_3^{(n)}}k$$ cuando estos números son consecutivos.

Ahora pretendemos que podemos hacer particiones también para establecer $\{1,\dots,n,n+1,n+2,n+3\}$.

Podemos tomar $B^{(n+3)}_i=A_i^{(n)}\cup\{n+i\}$$A^{(n+3)}_i=B_i^{(n)}\cup\{n+4-i\}$$i=1,2,3$.

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Para hacer las cosas completas: usted puede comenzar por ejemplo con:

$A_{1}^{\left(8\right)}=\left\{ 4,8\right\} $, $A_{2}^{\left(8\right)}=\left\{ 2,3,7\right\} $ y $A_{3}^{\left(8\right)}=\left\{ 1,5,6\right\} $

$B_{1}^{\left(8\right)}=\left\{ 3,8\right\} $, $B_{2}^{\left(8\right)}=\left\{ 1,4,7\right\} $ y $B_{3}^{\left(8\right)}=\left\{ 2,5,6\right\} $

$A_{1}^{\left(9\right)}=\left\{ 1,5,9\right\} $, $A_{2}^{\left(9\right)}=\left\{ 7,8\right\} $ y $A_{3}^{\left(9\right)}=\left\{ 2,3,4,6\right\} $

$B_{1}^{\left(9\right)}=\left\{ 1,6,7\right\} $, $B_{2}^{\left(9\right)}=\left\{ 2,5,8\right\} $ y $B_{3}^{\left(9\right)}=\left\{ 3,4,9\right\} $

Answer 3

Suma de aritmética seqence: $x, x+3, x+6, \ldots, x+3(a-1)$$\frac { x + (x+3(a-1))}{2}a $.

Por lo tanto para theree secuencias de secuencias a partir de $x=1,2,3$ y de tamaños: $a,b,c$ accordlingly, tenemos la suma de estos tres sequnces:

$\frac{3a-1}{2}a + \frac{3b+1}{2}b + \frac{3c+3}{2}c = 3\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-a+b+3c$.

En el caso de $3|n$ podemos elegir: $a=n/3, b=n/3, c=n3$.

En el caso de $3|(n-1)$ podemos elegir: $a=(n-1)/3, b=(n-1)/3, c=(n+2)/3$.

En ambos casos el total de la suma es $\frac{n^2+n}{2}$ como esperamos.