Significado intuitivo de inmersiones

Question

Tengo un tiempo difícil entender el concepto de inmersiones. En mi curso, que se introdujo por la inmersión teorema que dice:

Deje $f: U \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ $C^{1}$ en un subconjunto $U \subset \mathbb{R}^{m}$. Deje $a \in U$ rango$(Df_{(a)}) = m$ entonces existe un barrio $V$ $f(a)$ y un diffeomorphism: $\psi: V \rightarrow \psi(V)$ tal forma que: $$\psi ( f(x_{1},...,x_{n})) = (x_{1},...,x_{n},\underbrace{0,...0}_\text{n-m})$$ For $x$ close enough to $$.

La manera en que yo veo es que una 'superficie' en $\mathbb{R}^{m}$ puede ser poco a poco deformada en un plano de la superficie en $\mathbb{R}^{n}$. Es esta una manera razonable de pensar de las inmersiones? Si es así, considere la posibilidad de: $$f:\bar{B}_{1}(0) \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}:(x,y) \rightarrow (x,y,\sqrt{1-x^{2}-y^{2}})$$ que los mapas de $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}| x^{2}+-y^{2} \leq 1 \}$ a la parte superior a la mitad de una esfera en $\mathbb{R}^{3}$. El diferencial de $f$ $(0,0)$ es: $$Df_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Así que el immersiontheorem dice que en un barrio de el "polo norte" de la parte superior de la esfera de la superficie puede ser aplastado por una función de $\psi$. Consideremos ahora la función:

$$g:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: (\theta,\phi) \rightarrow (\sin\theta \cos \phi,\sin\theta \sin \phi, \cos \theta)$$ Que también representa una esfera. (no inyectiva). El diferencial en $(0,\phi)$ es ahora: $$Dg_{0} = \begin{pmatrix} \cos \phi & 0\\ \sin \phi & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

En este caso el rango$\left (Dg_{(0,\phi)} \right)<2$, por lo que la inmersión teorema no se aplica. Mi sensación es que la $g$ no puede ser aplanadas cerca de $(0,\phi)$ debido a la inmersión teorema no dice que se puede hacer. Es esto cierto (soy consciente de la inmersión teorema no se si y sólo si)? y ¿por qué es? Debido a que la superficie de $g$ $f$ son de la misma cerca de esos puntos.

También: ¿Qué hacer inmersiones importante?

Tenga en cuenta que no he aprendido nada de los colectores. Miré en otra pregunta , pero no tengo el conocimiento suficiente para entender. También soy un maldito idiota.

Answer 1

El punto principal con inmersiones de buceo es cómo se relacionan con incrustaciones. Estos últimos son diffeomorphic copias: $h:M\hookrightarrow\mathbb R^n$ es una inmersión si se le da a un diffeomorphism de $M$ a $N=h(M)\subset\mathbb R^n$ $N$ es un submanifold de $\mathbb R^n$ (se podría utilizar cualquier otro colector en lugar de $\mathbb R^n$). Así, no hay ninguna diff-top distinción entre la inicial $M$ y la copia de $N=h(M)$. Ahora para inmersiones esto es cierto sólo a nivel local en la fuente: Si $f:M\to\mathbb R^n$ es una inmersión en $a\in M$ decir, hay un abrir nbhd $U$ $a$ $M$ tal que $f|_U:U\to\mathbb R^n$ es una incrustación, que es, $U$ es diffeomorphic a $f(U)$, que es un submanifold de $\mathbb R^n$. Y aquí viene lo importante aviso: $f(U)$ no necesita ser abierta en $f(M)$, de ahí no se deduce $f(M)$ es un colector de cerca de $f(a)$. Esta obstrucción se produce incluso si $f$ es inyectiva. Este es el famoso ejemplo:

(que tomo prestada de Encontrar $f:C\to\mathbb{R}^2$ continuo y bijective pero no abierto, $C\subset\mathbb{R}^2$ es cerrado). Aquí $$ f:\mathbb R\to\mathbb R^2:t\mapsto\big(\frac{t^3}{1+t^4},\frac{t}{1+t^4}\big). $$ La imagen de $f(\mathbb R)$ es un lemniscate con dos ramas que se cruzan en la origen $(0,0)=f(0,0)$, en el que $f(\mathbb R)$ no es un regular de la curva. Pero si consideramos un pequeño intervalo abierto $U$$0\in\mathbb R$, la imagen es de un pequeño trozo de la rama vertical que es de hecho un regular de la curva, pero no es abierto en la lemniscate (se echa de menos la rama horizontal).

Este ejemplo insistir en el hecho de que un imersion es un incrustar el fib es un homeo en su imagen. Esto es importante para entender y visualizar proyectiva del plano y, en general, compacto no-orientable superficies. Estas superficies pueden ser incrustados en $\mathbb R^4$, pero no en $\mathbb R^3$. Ya que la mejor cosa siguiente a una incrustación es una inmersión, uno se ve en las inmersiones en $\mathbb R^3$. Para el plano proyectivo hay varios clásicos con nombres famosos: el de Steiner incrustaciones (como el romano de la superficie o el crosscap), o el Chico de la superficie. Ellos se han auto-intersecciones y puntos singulares de curso. Una búsqueda en la web da buenas fotos de todos ellos. así como algunos de los estándar de inmersión de la Botella de Klein en $\mathbb R^3$ (lo que justifica su nombre), que incluso puede ser visto en algunos hermosos modelos de cristal.

Otra clase importante de inmersiones que no son incrustaciones son algunos de los "el proceso de parametrización" de colectores, como el de la esfera en la pregunta. Estos son inmersiones cuya imagen es en realidad un suave colector. El no homeos en su imagen, sino topológica de las identificaciones. Ellos dan a los locales en el proceso de parametrización de que el colector cuando restringida adecuado para abrir sets. Ejemplos típicos son el clásico proceso de parametrización de las esferas, o tori.