Mismo Div, diferentes Curl, la Igualdad en la frontera de una región?

Question

"Encontrar un par de campos de igualdad de las divergencias en algunas regiones, teniendo el mismo valores en la frontera de la región, y sin embargo, tener diferentes rizos"

¿Quién puede nombrar a un par de campos que encajen con este requisito (Que sería increíble si la región fue la unidad de la esfera)

Answer 1

Edificio en anon comentario (en el fondo a la que se puede leer en la Wikipedia), necesitamos encontrar un campo que tiene cero de la divergencia y la no-cero curl y se desvanece en la frontera de una región, preferentemente en la unidad de la esfera. (En las matemáticas, en oposición a la física, de la "esfera" se refiere normalmente a la superficie, no para el cuerpo, y el cuerpo se llama "bola".)

Considere la posibilidad de un campo de la forma $f(r)(\mathbf r\times\mathbf v)$ donde $r=|\mathbf r|$ es la distancia desde el origen y $\mathbf v$ es una constante arbitraria vector. Su divergencia se desvanece:

$$\nabla\cdot(f(r)(\mathbf r\times\mathbf v))=f'(r)\frac{\mathbf r}{r}\cdot(\mathbf r\times\mathbf v)+f(r)\mathbf v\cdot(\nabla\times\mathbf r)=\mathbf 0\;.$$

Su curvatura es

$$ \begin{eqnarray} \nabla\times(f(r)(\mathbf r\times\mathbf v)) &=& (\mathbf v\cdot\nabla)(f(r)\mathbf r)-\mathbf v(\nabla\cdot(f(r)\mathbf r)) \\ &=& f(r)\mathbf v+ (\mathbf v\cdot\frac{\mathbf r}r)f'(r)\mathbf r-3f(r)\mathbf v-\mathbf vf'(r)\frac{\mathbf r}{r}\cdot\mathbf r \\ &=& \mathbf v(-2f(r)-f'(r)r)+(\mathbf v\cdot\mathbf r)f'(r)\frac{\mathbf r}r\;, \end{eqnarray} $$

que no es cero por cero no $f$$\mathbf v$. Por lo tanto usted puede elegir algunas de función $f$ que se desvanece en la unidad de la esfera, por ejemplo,$f(r)=r-1$, o algo que produce un campo llano en $r=0$ en el caso de que preocuparse.

[Editar en respuesta al comentario:]

Yo no entendía el requisito significa que los rizos tienen que ser diferentes en todas partes. En realidad esto es imposible si los campos son lo suficientemente diferenciable. Por Stokes teorema, la curvatura de la diferencia debe ser tangente a la esfera, ya que puede integrar su componente normal a través de una arbitrariamente pequeña porción de la superficie y esta debe ser igual a la integral de la diferencia a lo largo de la curva de límite, que es cero debido a que los campos son iguales en la esfera. De modo que la curvatura de la diferencia de forma un continuo tangente campo de vectores en un $2$-esfera, la cual debe desaparecer en algún lugar en la esfera de la bola peluda teorema.

[Editar en respuesta a otro comentario:]

Usted puede obtener un campo con cero curl, cero valores límite y no-cero de la divergencia de una manera similar. Considere la posibilidad de un campo de la forma $f(r) \mathbf r$. Su curvatura se desvanece:

$$ \begin{eqnarray} \nabla\times(f(r) \mathbf r) &=& f(r)\nabla\times\mathbf r+(\nabla f(r))\times\mathbf r \\ &=& f(r)\nabla\times\mathbf r+f'(r)\frac{\mathbf r}r\times\mathbf r \\ &=& \mathbf 0\;. \end{eqnarray} $$

Su divergencia es

$$ \begin{eqnarray} \nabla\cdot(f(r)\mathbf r) &=& f(r)\nabla\cdot\mathbf r+(\nabla f(r))\cdot\mathbf r \\ &=& f(r)\nabla\cdot\mathbf r+f'(r)\frac{\mathbf r}r\cdot\mathbf r \\ &=& 3f(r)+f'(r)r\;, \end{eqnarray} $$

que no es idénticamente cero, a menos que $f(r)\propto r^{-3}$. Así, como en el otro caso, usted puede elegir alguna función $f$ que se desvanece en la unidad de esfera para obtener un adecuado diferencia entre los dos campos.