Determinar el $\sin(2 - 2i)$ y escriba la respuesta en la forma $a + ib$.

Question

Determinar el $\sin(2 - 2i)$ y escriba la respuesta en la forma $a + ib$.

Me las arreglé para entrar en el formulario de $\dfrac{e^{2i + 2} - e^{-2 -2i}}{2i}$.

La solución tiene los siguientes cálculos:

$\sin(2 - 2i) = \dfrac{e^{i(2 - 2i)} - e^{-i(2 - 2i)}}{2i}$

$ = \dfrac{(e^2 - e^{-2})\cos(2) + i(e^2 + e^{-2})\sin(2)}{2i}$

$= \dfrac{(e^2 + e^{-2})\sin(2)}{2} - i\dfrac{(e^2 - e^{-2})\cos(2)}{2}$

Estoy luchando para salir de mi solución en la forma de la solución aportada.

Puedo ver que la propiedad algebraica $e^{x + iy} = e^xe^{iy} = e^x(\cos(y) + i\sin(y))$ fue utilizado, pero yo todavía no entiendo cómo llegar desde mi solución para la solución aportada.

Se agradecería que la gente podría, por favor tome el tiempo para publicar una solución que muestra los pasos que conducen desde mi solución intermedia para la solución aportada.

Answer 1

$$\sin (2-2i)=\frac { { e^{ i(2-2i) }-e^{ -i(2-2i) } } }{ 2i } { = }\frac { { e }^{ 2i }\cdot { e }^{ 2 }-{ e }^{ -2i }\cdot { e }^{ -2 } }{ 2i } =\\ =\frac { \left( \cos { 2 } +i\sin { 2 } \right) { e }^{ 2 }-\left( \cos { \left( -2 \right) } +i\sin { \left( -2 \right) } \right) { e }^{ -2 } }{ 2i } =\\ =\frac { \cos { 2 } \left( { e }^{ 2 }-{ e }^{ -2 } \right) +i\sin { 2 } \left( { e }^{ 2 }+{ e }^{ -2 } \right) }{ 2i } =\frac { \sin { 2 } \left( { e }^{ 2 }+{ e }^{ -2 } \right) }{ 2 } +\frac { \cos { 2 } \left( { e }^{ 2 }-{ e }^{ -2 } \right) }{ 2i } =\\ =\frac { \sin { 2 } \left( { e }^{ 2 }+{ e }^{ -2 } \right) }{ 2 } -i\frac { \cos { 2 } \left( { e }^{ 2 }-{ e }^{ -2 } \right) }{ 2 } $$