"Descubrir" las funciones hiperbólicas $\cosh(x)$ et $\sinh(x)$

Question

Estoy tratando de derivar las definiciones de funciones hiperbólicas con esta imagen en mente, donde $a := \cosh u$ , $b := \sinh u$ y $u = 2A$ .

Tengo $$2A = 2\int_{0}^b \sqrt{1+y^2} \ \mathrm{d}y = b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right)$$ y por lo tanto $$\begin{align} \cosh u &= \cosh\left(\;b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right)\;\right) = \sqrt{b^2 + 1} \\ \sinh u &= \sinh\left(\;b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right)\;\right) = b \end{align}$$

El objetivo es resolver $u$ en términos de $b$ y luego derivar las fórmulas habituales, pero se ha demostrado que eso es imposible (a menos que haya cometido un error, que creo que podría ser el caso aquí). ¿Qué puedo hacer?

Además, estoy usando la derivación mostrada en esta guía .

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EDITAR: La integral correcta es $$2A = 2\int_{0}^b \left( \sqrt{1+y^2} - \frac{a}{b}y \ \mathrm{d}y \right) = \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right)$$ así que $$b = \cfrac{e^{2u} - 1}{2e^u}$$ y a partir de aquí el resto se deduce trivialmente.

Answer 1

No olvide que la región $A$ está cortada por la línea $x=\frac ab y$ por lo que debe modificar su integral para que sea $$ 2A = 2\int_{0}^b \left(\sqrt{1+y^2}-\frac ab y\right) dy.\tag1$$ Pero como $(a,b)$ se encuentra en la hipérbola, tenemos $a=\sqrt{b^2+1}$ . Introduciendo esto en (1) y evaluando la integral, obtendremos $$u=2A=\log(b+\sqrt{b^2+1}).\tag2$$ (Obsérvese que esta modificación equivale a restar el doble del área de un triángulo rectángulo con catetos $a$ et $b$ .)

El siguiente paso es resolver (2) para $b$ en términos de $u$ .