Cómo determinar si un campo vectorial es el curl de otro campo vectorial?

Question

Quiero ver si el teorema de Stokes se puede aplicar a un determinado flujo de la integral del campo vectorial $F$. Para ello, es necesario determinar si el campo vectorial $F$ es el curl de algún otro campo vectorial. ¿Cómo puedo determinar esto?

Answer 1

Usted puede determinar si un campo vectorial puede escribirse como el curl de otro campo vectorial (en $\mathbb{R}^3$) mirando la divergencia. Asumir un campo de vectores $F$ puede ser escrito como el curl de otro campo vectorial, llame a $G$. A continuación,$F = \text{curl}~G$. Tomar la divergencia de $F$, e decir $\text{div}~F \not= 0$. Entonces, como se deduce por el Teorema de Clairaut, $\text{div}~F = \text{div}(\text{curl}~G) = 0$, lo que contradice $\text{div}~F \not= 0$. Por lo tanto, $F$ no es el curl de otro campo vectorial si $\text{div}~F \not= 0$. Así que si $\text{div}~F = 0$, entonces el campo es el curl de otro campo. Eso también significa que el campo vectorial es incompresible (solenoidal)!

S/S a Cameron Williams para darme cuenta de la conexión a la divergencia allí.