Límite de la relación entre la potencia de la serie y un "subconjunto" de la potencia de la serie

Question

$B$ es un poder infinito de la serie que converge en todas partes, y $A$ es un poder infinito de la serie que converge en todas partes que se compone sólo de los términos que aparecen en $B$ - ambos tienen no negativo de los coeficientes reales y son de la serie en una sola, no negativo de variable real, $x$, por lo que ambas son estrictamente creciente en a $x$.

Hay condiciones en $A$ o $B$ que determinar que $A/B$ tiene un límite, (es decir, no oscilar) como $x \to \infty$? Ciertamente no difieren debido a $B\ge A$.

Para mi problema, tengo un fuerte sentimiento, basada en el razonamiento heurístico y basado en una fuerte evidencia a partir de una gráfica, que $A/B$ converge a algún límite, pero estoy teniendo el darnest tiempo de probarlo.

Cualquier ayuda muy apreciada!

EDITAR:

La serie real' que tengo en mente son:

$$ B = e^x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} $$

y, para fijo $n\in\mathbb{Z^+}$

$$ A = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{jn}}{(jn)!} $$

En otras palabras, $A$ está compuesto de todos los $n$el plazo de la $e^x$, comenzando con la $0$th plazo.

Answer 1

En el caso de que te dio la respuesta puede ser obtenida a través de algunas manipulaciones formales.

La reclamación.

$$ \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{jn}}{(jn)!} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(xe^{i2\pi k/n}\right). $$

Prueba.

Debido a que la serie en cuestión son absolutamente convergente podemos reordenar los términos de la siguiente manera:

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(xe^{i2\pi k/n}\right) &= \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^j e^{i2\pi kj/n}}{j!} \\ &= \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^j}{j!} \sum_{k=0}^{n-1} e^{i2\pi kj/n}. \end{align} $$

Al $j$ es un múltiplo de a $n$ todos los términos del interior de la suma son iguales a$1$, por lo que la suma es igual a $n$. Al $j$ no es un múltiplo de a $n$ observamos que el interior de la suma es la suma parcial de una serie geométrica, por lo que

$$ \sum_{k=0}^{n-1} e^{i2\pi kj/n} = \frac{1 - e^{i2\pi j}}{1 - e^{i2\pi j/n}} = 0. $$

En consecuencia, los únicos términos restantes en la suma son aquellos donde la $j$ es un múltiplo de a $n$. Por lo tanto, tienen

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(xe^{i2\pi k/n}\right) = n \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{jn}}{(jn)!}. $$

Q. E. D.

El uso de esta fórmula nos encontramos con que

$$ \frac{\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{jn}}{(jn)!}}{\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j!}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \exp\left(x\a la izquierda(e^{i2\pi k/n}-1\right)\right) \longrightarrow \frac{1}{n} $$

como $x \to \infty$.