Cuántas $5$-elemento de subgrupos no $S_7$?

Question

Cuántas $5$-elemento subgrupos hay en $S_7$, el grupo de permutaciones en $7$ elementos?

Deje $H$ $5$- elemento subgrupo de $S_7$. Tenemos $\mbox{ord}(H) = 5$$5\mid 7!$. Pero no tengo ninguna idea de cómo puedo encontrar los 5 elementos subgrupos.

Answer 1

Sugerencia:

Un subgrupo de $S_7$ orden $5$ debe ser cíclica (todos los grupos de primer orden son cíclicos), y por lo tanto es generado por un elemento de orden $5$. Los únicos elementos de orden $5$ $S_7$ $5$- ciclos (por qué?), pero cada subgrupo contiene $4$ de esos ciclos. Esto reduce el problema a uno de una combinatoria de sabor.

Answer 2

Aquí están algunos de los códigos inspirados por A. Konovalov líder sugerencias para hacer el problema a través de la BRECHA.

gap> G:=SymmetricGroup(7);
gap> ccs:=ConjugacyClassesSubgroups(G);;
gap> c5:=Filtered(ccs, c -> Size(Representative(c))=5);;
gap> Length(c5);
                                       1
gap> c5;
                      [ Group( [ (3,4,5,6,7) ] )^G ]
gap> Size(c5[1]);
                                      126

La clase conjugacy de un 5-ciclo consta de 504 elementos, que es 4 veces más:

gap> (3,4,5,6,7)^G;
gap> Size(last);
                                      504
gap> 504/126;
                                       4

Answer 3

Sugerencias (completar y/o agregar algunos otros comentarios o respuestas):

• Cada grupo de orden $\;5\;$ $\;S_7\;$ es generado por una $\,5-$ciclo (esto es falso en $\,S_n\;,\;\;n\ge10\;$ . Puede usted ver por qué?)

• Para cada subconjunto de los cinco elementos en $\;\{1,2,3,4,5,6,7\}\;$ tenemos un generador de un subgrupo de orden $\;5\;$ $\;S_7\;$ y todos ellos dan lugar a distintos subgrupos de orden $\;5\;$$\;S_7\;$ .

• (tipo de) Otro enfoque: ¿cuántas $\;5\;$ ciclos hay en $\,S_7\;$ ? Cómo muchos de ellos generan el mismo subgrupo cíclico? Por ejemplo

$$\langle (12345)\rangle =\langle(13524)\rangle=\langle(14253)\rangle =\ldots$$