Ejemplos de casi-semirings sin absorber cero

Question

¿Qué es un instructivo ejemplo de un conjunto $X$ equipada con dos monoid estructuras $(X,+,0)$, $(X,\cdot,1)$, tal que $+$ es conmutativa, la distributiva leyes bodega, sino $0 \cdot x = 0$ o $x \cdot 0 = 0$ ¿ no ?

Observe que en el caso de que estas dos leyes de absorción de espera, uno llama a $(X,+,0,\cdot,1)$ un semiring. A primera vista, podría ser sorprendente que estas leyes han de ser impuestas, pero esto es bastante natural desde un punto de vista general, es decir, la multiplicación de $\cdot : X \times X \to X$ debe ser un aditivo monoid homomorphism en cada variable, y se sabe que uno tiene a la demanda que monoid homomorphisms preservar el elemento neutro.

Answer 1

Deje $S$ el conjunto de pares en $\Bbb R^2$ de la forma $[a,b]$ donde$a\leq 0$$b\geq 0$.

Definir $$[a,b]+[a',b']=[\min(a,a'),\max(b,b')]$$ y

$$[a,b][a',b']=[a+a',b+b']$$

Todo lo que se necesita para la distributividad son las identidades $\min(a,a')+c=\min(a+c,a'+c)$$\max(b,b')+c=\max(b+c,b'+c)$.

Resulta que $e=[0,0]$ es el elemento neutro para ambas operaciones de $S$, lo $a=a+e=ae$, y entonces es imposible para $e$ a multiplicatively absorber el no $e$ elementos.