Máximo subconjunto de $\mathbb{R}$ con una propiedad especial

Question

Una pregunta adicional para la hice aquí pensé que sería mejor pedir por separado.

Mientras que mirando a todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ con la siguiente propiedad: $a,b\in A \Rightarrow a+b\not \in A$, pensé tratando de encontrar el máximo conjunto de todos los subconjuntos. Es posible demostrar que debe haber un conjunto máximo que sigue a la propiedad?

Answer 1

Sí, debe haber un $\subseteq$-máxima tales: por el lema de Zorn:

Deje $\mathcal A$ ser el conjunto de todos los conjuntos. Para cualquier cadena de $X \subseteq \mathcal A$, $\bigcup X \in \mathcal A$ $\subseteq$- límite superior para $X$. De ahí el lema de Zorn se aplica.

(Tenga en cuenta, sin embargo, que este elemento maximal de a $(\mathcal A; \subseteq)$ es no singular , que es por qué yo no lo llamaría un máximo.)