Modelos de grupos infinitos y objetos 'grupales'

Question

Deje $G$ ser un infinito de grupo, y por simplicidad, supondremos que $G$ también es contable. Ahora, con $G$ en mente, se construye un nuevo lenguaje $L_G=\{f_{a_i\_},f_{\_a_i}:a_i\in G\}$ donde $f_{a_i\_}(x)=a_ix$ $f_{\_a_i}(x)=xa_i$ (tenga en cuenta que si $G$ es abelian, se puede restringir el idioma a $\{f_{\_a_i}:a_i \in G\}$) . Deje $T=Th_{L_G}(G)$ ($T$ es la teoría de la G en el idioma $L_G$). Es claro que desde $G$ es contable, $L$ también es contable. Por lo tanto, $T$ es una contables, teoría completa en una contables idioma. Decimos que $M$ es grupo-como' si $M\models T$ para algunos countably infinita grupo $G$.

Pregunta 1: Si $G$ es countably categórico en $L=\{1,\cdot\}$, entonces es $T$ countably categórico en $L_G$? (Sospecho que no).

Pregunta 2: ¿Qué hacer innumerables grupos como' modelos?

Pregunta 3: ¿alguien Puede darme un ejemplo (contables o incontables) de un modelo de $M$ tal que $M \models T$ pero $M$ es "radicalmente no es un grupo" (sé que "radicalmente no es un grupo" no está bien definido, pero creo que la intuición es clara).

Answer 1

Así, por Levon Haykazyan el primer comentario, pregunta 1 es contestada en sentido negativo.

A partir de este documento, en la página 14, podemos responder a las preguntas 2 y 3.

Ejemplo 1.38 estados, "Vamos a $G$ ser una infinita grupo de cardinalidad $\kappa$ decir. Deje $L = \{\lambda_g : g \in G\}$ cuando la $\lambda_g$ son unarios los símbolos de la función. Deje $T$ ser la teoría de la libre $G$-conjuntos. A continuación, $T$ es categórico en cada cardinalidad $> \kappa$, y completa".

Creo que esta es la respuesta completa a esta pregunta, posiblemente, puede recibir.