En un espacio métrico no compacto, la transitividad topológica no debe implicar en

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y $f:X \to X$ ser continua. Si $f$ es topológicamente transitivo. A continuación, $f$ es sobre.

Estoy tratando de mostrar que conversar de lo anterior no es cierto y la compacidad hipótesis no puede ser eliminado.

Para mostrar que el recíproco no es cierto, yo deje $X=\{0,1\}$ con discretos de la topología y de la $f$ ser el mapa de identidad en $X.$ $f$ es sobre pero no es topológicamente transitivo.

Sin embargo, no podía encontrar ningún ejemplo de un no-espacio métrico compacto y una función continua que es topológicamente transitivo, pero no en.

Todas las sugerencias serán apreciados.

Nota: Si $(X,f)$ es un sistema dinámico. A continuación, $f$ dijo ser topológicamente transitiva si para cada par de no-vacío abierto conjuntos de $U$ $V$ $X$ existe $n \geq 1$ tal que $f^n(U) \cap V\neq \emptyset.$

Answer 1

Considere el círculo con una irracional de rotación. Quitar el negativo de la órbita de un punto. A continuación, el irracional rotación en el espacio resultante es topológicamente transitivo, pero no surjective.

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Un localmente compacto ejemplo:

Inicio de los acuerdos bilaterales en el turno 2 cartas de $K=\{0,1\}^{\mathbf{Z}}$, con el cambio de $s(f)(n)=f(n-1)$. Claramente, es topológicamente transitivo, y por lo tanto también lo es cualquier subconjunto abierto estable en $s$. Uno en particular abrir subconjunto $U$ es el complemento del conjunto a $F=\{0\}\cup\{\delta_n:n\le 0\}$ donde $\delta_n(m)=1$ fib $m=n$ ($F$ es claramente cerrado y estable en $s^{-1}$). Por lo $(U,s)$ es localmente compacto ejemplo.

Answer 2

En una ligera modificación de la respuesta de YCor, restringe una rotación irracional a una sola órbita hacia adelante. Esto demuestra que su espacio puede ser contable.