3 puntos se encuentran en la misma línea recta. Entonces, ¿por qué es válida esta fórmula?

Question

Tengo en cuenta que los puntos$(0,1)$,$(x,y)$ y$(\phi(x,y),0)$ están todos en la misma línea recta desde el polo norte del círculo$S^1=\{ (x,y)\in \mathbb{R}: x^2+y^2=1 \}$ hasta el punto$(\phi(x,y),0)$ que es un punto en el eje$y=0$. El punto medio$(x,y)$ se encuentra en el círculo. Entonces, ¿por qué es cierto que$$\frac{x}{\phi(x,y)}+y=1$ $

Answer 1

Si sabe acerca de los determinantes, entonces un buen truco que debe saber es que tres puntos$(a_1,b_1),(a_2,b_2)$ y$(a_3,b_3)$ son colineales si y solo si$$\det\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 1\\a_2 & b_2 & 1\\ a_3 & b_3 & 1\end{bmatrix}=0.$ $

Entonces, dada la información en su pregunta, sabe que$$\det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\x & y & 1\\\phi(x,y) & 0 & 1\end{bmatrix}=0,$$ which says that $ \ phi (x, y) -y \ phi (x, y) -x = 0.$ Rearranging (and assuming $ \ Phi ( x, y) \ neq 0$), gives $ \ frac {x} {\ phi (x, y)} + y = 1 $.

Answer 2

Para cualquier$a,b,c$ fijo (con$(a,b)\ne(0,0)$) la ecuación$ax+by=c$ describe una línea. Si permitimos que$a=\frac1{\phi(x,y)}$ (suponiendo que$\phi(x,y)\ne0$, por supuesto) y$b=1$ y$c=1$, vemos que$(0,1)$ está en esta línea y$(\phi(x,y),0)$ esta en esta linea Dado que solo hay una línea a través de dos puntos distintos, el punto$(x,y)$ también debe cumplir la ecuación de esta línea.

Answer 3

Considere la línea de$(0,1)$ a$(x,y)$ esto tiene la pendiente$\frac{dy}{dx}=\frac{1-y}{x}$.

Por lo tanto,$\phi(x,y)$ está$$\Delta x = \frac{dx}{dy}\Delta y$ $ lejos de x, donde$\Delta y$ es aquí la diferencia desde la coordenada y del punto$(x,y)$ y$(\phi(x,y),0)$ y por lo tanto$\Delta y = y$

Por lo tanto,$$\phi(x,y)=x+\frac{dx}{dy}\cdot y = x+\frac{x}{1-y}\cdot y=x+\frac{xy}{1-y}$ $ Dividir y$x$:$$\frac{\phi(x,y)}{x}=1-\frac{y}{1-y}=\frac{1}{1-y}$ $ Lo inverso:$$\frac{x}{\phi(x,y)}=1-y$ $ y, por lo tanto,$$\frac{x}{\phi(x,y)}+y=1$ $

Answer 4

Creo que puedes probarlo con triángulos semejantes.

Deje:$A:(0,1)$,$B:(x,y)$,$C:(\phi,0)$,$D:(x,0)$ y$O: (0,0)$, entonces tenemos:$$\overline{CD} : \overline{CO} =\overline{BD} : \overline{AO}$ $$${{\phi - x} \over {\phi}} ={{y} \over {1}}$ $% PS

Answer 5

Deje que los puntos$(0,1)$,$(x,y)$ y$(\phi,0)$ se etiqueten como$A$,$B$,$C$. Luego, los segmentos$AC$ y$AB$ tienen la misma pendiente, ya que los tres puntos se encuentran en la misma línea. Calcule el aumento de la ejecución para cada segmento a afirmar:$$ {1-0\over 0-\phi} = \mbox{slope} ( AC)= \mbox{slope}(AB) = {1 - y \over 0 - x} $ $ y simplifique. No se utiliza el hecho de que$B$ se encuentra en un círculo.