Área encerrada por curvas$\; y=x^2;\;\;y^2=2x-x^2$

Question

Hallar el área encerrada por las curvas: $$y=x^2;\quad y^2=2x-x^2$$

Sé cómo configurar el problema. Estoy teniendo dificultades al calcular la integral sin embargo. Me enteré de los puntos de intersección mediante la configuración de las dos ecuaciones iguales el uno al otro. Tengo el límite inferior para ser $0$ y el límite superior para ser $1$. Desde la segunda ecuación es mayor que el primero, me juego hasta la integral de manera que la primera se resta de la segunda. Por lo tanto, la integral se parecía a $$\int_{0}^{1} \left(\sqrt{2x-x^2}-x^2\right)\,dx$$ no puedo entender cómo integrar de que así no puedo seguir con el problema.

Answer 1

La configuración es irregular. De hecho, nos estamos encontrando en la zona delimitada por debajo de la curva de $y = \sqrt{2x - x^2}\,$ y por encima de la curva de $y = x^2,\;$$x = 0$$x = 1$:

De hecho, tenemos que integrar:

$$\begin{align} I & = \int_0^1 \left(\sqrt{2x - x^2} - x^2\right)\,dx \\ \\ & = \int_0^1 \sqrt{1 - 1 + 2x - x^2} \,dx - \int_0^1 x^2\,dx\\ \\ & = \int_0^1 \sqrt{1 - (x - 1)^2} \,dx - \int_0^1 x^2\,dx \end{align}$$

Ahora, para la primera integral, usamos la sustitución trigonométrica $(x - 1) = \sin\theta$, por lo que el $dx = \cos\theta\,d\theta$.

Encontrar los nuevos límites de integración para la primera integral (por lo que podemos salvarnos a nosotros mismos la tarea de "sustitución hacia atrás" al final):

En$x = 0, \sin\theta = -1 \implies \theta = -\pi/2.\;$$x = 1, \sin\theta = 0 \implies \theta = 0$.

Esto le da a usted, después de la sustitución de la primera integral:

$$I = \int_{-\pi/2}^{0} \sqrt{1 - \sin^2 \theta}\cos\theta\,d\theta - \int_0^1 x^2\,dx$$

Vamos a utilizar las identidades $$\begin{align}\;1 - \sin^2\theta & = \cos^2 \theta\tag{1} \\ \cos^2 \theta & = \dfrac {1 + \cos (2\theta)}{2}\tag{2}\end{align}$$

$$I =\int_{-\pi/2}^0 \left(\sqrt{\cos^2\theta}\right)\cos\theta\,d\theta = \int_{-\pi/2}^0 \cos^2\theta\,d\theta - \int_0^1 x^2\,dx \tag{1}$$

$$I = \dfrac 12\int_{-\pi/2}^0 \left(1 + \cos(2\theta)\right) \,d\theta - \int_0^1 x^2 \,dx\tag{2}$$

La integración debe ahora ser relativamente sencillo:

$$I = \left[\dfrac \theta2 + \dfrac 14\sin(2\theta)\right]\Big|_{-\pi/2}^0 \;- \;\dfrac{x^3}3\Big|_0^1\quad = \quad \frac\pi4-\dfrac 13$$