Si tomo la segunda derivada de un% gaussiano $e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ y lo hago igual a$0$, el punto de inflexión es$x=\pm \sigma$. ¿Es$1$ -$\sigma$ el punto en el que la curva gaussiana es "más empinada"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Fimpellizieri
Puntos
155
Usted desea encontrar los extremos de la derivada de $f(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ - esos son los puntos con 'empinada' pendiente, al menos a nivel local. Para una función derivable $g$ en un intervalo abierto, su extrema satisfacer $g'=0$. Por lo tanto, usted debe calcular los ceros de
$$\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\cdot\frac{-x}{\sigma^2}\right]=\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\cdot{\left(\frac{-x}{\sigma^2}\right)}^2-\frac1{\sigma^2}\cdot\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\\ =\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\cdot\left({\left(\frac{-x}{\sigma^2}\right)}^2-\frac1{\sigma^2}\right)$$
Por lo tanto, tenemos $\frac{d}{dx}f'(x)=0\iff {\left(\frac{-x}{\sigma^2}\right)}^2-\frac1{\sigma^2}=0\iff x^2=\sigma^2\iff x\pm\sigma$.
Bueno, por supuesto, hemos encontrado los mismos valores de $x$! Las soluciones a $(f')'=0$ son las soluciones a $f''=0$. Así, el "más pronunciada" puntos de $f$ son un subconjunto de los ceros de $f''$.
