Demostrar la desigualdad de $e^{-2x}\leq 1-x$

Question

¿Cómo puedo probar la desigualdad de $e^{-2x}\leq1-x$$0\leq x\leq1/2$?

Answer 1

Por ejemplo, $(1-x)(1+2x)=1+x-2x^2\geq 1$, por lo que $$ e^{2x}\geq 1+2x \geq \frac{1}{1-x} $$

Answer 2

Un poco feo, pero el estándar de inicio de cálculo enfoque es dejar $$f(x)=1-x-e^{-2x}.$$ Queremos mostrar que $f(x)\ge 0$ en el intervalo de $[0,1/2]$.

Un primer paso experimental podría ser la utilización de software para graficar $y=f(x)$ $x$ rangos de nuestro intervalo. Si tenemos un alto grado de confianza en el software, la imagen nos dice que $f(x)$ es bastante probable a ser $\ge 0$ en nuestro intervalo.

La certeza es mejor. Utilizar la derivada para estudiar el comportamiento de $f(x)$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$, y $$f'(x)=2e^{-2x} -1.$$ La derivada es positiva en $x=0$, y es claramente decreciente. Llega a $0$$x=(\ln 2)/2\approx 0.3465$. Por lo $f(x)$ es creciente en el intervalo $[0,(\ln 2)/2]$, y la disminución de$(\ln 2)/2$. Por $x=1/2$, $f(x)$ es acerca de $0.13212$, y, en particular, todavía positivo.

Por lo tanto $f(x)$$\ge 0$$0 \le x\le (\ln 2)/2$, e $f(x) >0$$(\ln 2)/2 \le x\le 1/2$. De ello se desprende que $f(x)\ge 0$ en todo el intervalo de $[0,1/2]$ (y un poco más allá de $1/2$).

Comentario: Hay formas mucho mejores para demostrar la desigualdad. Pero atengámonos a calculusy enfoques. Para reducir los efectos negativos, tenga en cuenta que, equivalentemente, queremos mostrar que $e^{2x}(1-x) \ge 1$ en nuestro intervalo (multiplicamos ambos lados por el número positivo $e^{2x}$). Deje $g(x)=e^{2x}(1-x)-1$. A continuación,$g(0)=0$. También, $g'(x)=(1-2x)e^{2x}$, lo $g$ es creciente en el intervalo $[0,1/2]$, y hemos terminado.

Answer 3

Deje $f(x)=e^{-2x}-(1-x)$. Tenemos:

• $f''(x)=4e^{-2x}$, lo cual siempre es positivo. Por lo tanto, $f$ es convexo.
• $f(0)=0$
• $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{2}\leq0$.

Desde $f$ es convexa, su curva es siempre por debajo de las $0$$\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$. Esto demuestra que $e^{-2x}\leq 1-x$.

Answer 4

Por expansión de Taylor, tenemos $$\ln \frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n},$$ whose convergence radius is $R=1$.

La ecuación anterior también se puede lograr mediante la integración de ambos lados de $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n} .$$

Para $0\leq x\leq 1/2$ tenemos la siguiente cota superior $$ \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{ n\left( 2^{n}\right) }=\ln 2 \leq 2. $$ Por lo tanto $$ -\ln \left( 1-x\right) =\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}\leq 2x. $$ Dada la desigualdad de la siguiente manera.

Answer 5

Podemos empezar en una escuela primaria de forma muy conocido resultado de que viene de W. Sierpiński la desigualdad o $(e^x)$ expansión de Taylor, a saber:

$$e^x\geq 1+x $$

Tenemos que: $$e^{-x}\leq\frac1{x+1}; \space e^{-2x}\leq\frac1{2x+1}\leq1-x,\space \space \space 0\leq{x}\leq\frac{1}{2}$$

La prueba está completa.