Valores propios, valores singulares y los ángulos entre los vectores propios

Question

Supongamos que el $n \times n$ matriz $A$ tiene los autovalores $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ y valores singulares de a $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$. Parece plausible que mediante la comparación de los valores propios y valores propios que nos recibe algún tipo de información acerca de los vectores propios. Considere la posibilidad de:

una. Los valores propios son iguales a los valores absolutos de los autovalores si y sólo si la matriz es normal, es decir, los vectores propios son ortogonales (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_matrix el apartado 11 de las "definiciones Equivalentes" de la sección ).

b. Supongamos que tenemos dos distintos autovalores $\lambda_1, \lambda_2$ con vectores propios $v_1, v_2$. Supongamos que, hipotéticamente, dejamos $v_1$ enfoque de $v_2$, mientras que el mantenimiento de todos los otros valores y vectores propios de la misma. A continuación, el mayor valor singular enfoques infinito. De esta manera se sigue desde $\sigma_{\rm max} = ||A||_2$ $A$ asigna el vector $v_1 - v_2$, que se aproxima $0$,$\lambda_1 v_1 - \lambda_2 v_2$, que no se acerca a $0$.

Parece razonable suponer que la `más iguales" $|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|$$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, más los vectores propios se ven como un ortogonales de la colección. Así que, naturalmente, mi pregunta es si hay una declaración formal para este efecto.

Answer 1

Podemos tener una idea de la pregunta si pensamos en términos de cambio de base y el operador de la norma $\|A\| = \sigma_1$. Supongo que hemos organizado los autovalores de modo que $|\lambda_1| \geq \ldots \geq |\lambda_n| > 0$. Por lo $A = E\Lambda E^{-1}$, $\Lambda$ tener los autovalores de orden en la diagonal, y $E$ siendo la matriz cuyas columnas son los correspondientes vectores propios. Podemos considerar $E^{-1}$ a ser la matriz que representa una coordenada transformar, trayendo los vectores propios a la norma base.

Supongamos que los valores singulares de a$E$$s_1, \ldots, s_n$. De ello se deduce que los valores singulares de a$E^{-1}$$s_n^{-1}, \ldots, s_1^{-1}$. Desde $E^{-1}$ no es una isometría, la norma de la matriz de $A$ no es lo mismo que $\|\Lambda\| = |\lambda_1|$. De hecho, tenemos $$\sigma_1 = \|\| \leq \|E\| \|\Lambda\| \|E^{-1}\| = s_1 |\lambda_1| s_n^{-1}.$$ La cantidad de $\kappa(E) = \kappa(E^{-1}) = s_1 s_n^{-1}$ es la condición de la matriz de cambio de base $E^{-1}$, y que coincide con la condición de número de $E$ sí. La condición número da una medida de cuán cerca de $E$ es ser degenerado. Para ortogonal de la matriz de la condición de número 1, pero como vamos dos columnas de $E$ "enfoque" unos a otros, la condición de número de $E$ aumenta. Si usted piensa que una de las columnas de a $E$ como se forman los lados de un cuadro (una parallelotope), entonces la condición de número es una medida de cómo aplastado la caja es (esta afirmación podría ser hechos precisos).

De todos modos, usted tiene que $$\kappa(E)^{-1}|\lambda_1| \leq \sigma_1 \leq \kappa(E) |\lambda_1|,$$ que es al menos una respuesta parcial a la pregunta.