Si a, b, c son números racionales positivos tales que a> b> c, entonces indica cuál de las siguientes afirmaciones son correctas siguiendo la ecuación cuadrática

Question

Estoy de problemas siguientes preguntas en base a la ecuación cuadrática

Si $a,b,c$ son los números racionales positivos tales que $a>b>c$ y la ecuación cuadrática $(a+b-2c)x^2+(b+c-2a)x+(c+a-2b)=0$ tiene una raíz en el intervalo de $(-1,0)$ , a continuación, cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?

1. $b+c>a$
2. $c+a<2b$
3. tanto las raíces de la ecuación dada son racionales
4. la ecuación de $ax^2+2bx+c=0$ tiene ambos negativos de las raíces reales.

Mi Enfoque

Primero he calculado discriminante de la ecuación cuadrática, que resulta ser $3(b-c)$ (Esto demuestra instrucción 3).

Así raíz 1 $r_1$ es

$$r_1 = \frac{-b-c+2a+3b-3c}{2(a+b-2c)}=1$$

Así raíz 2 será

$$\frac{c+a-2b}{a+b-2c}$$

Como se menciona que una de las raíces se en $(-1,0)$ lo $\frac{c+a-2b}{a+b-2c}$ será esa raíz. Así

$$-1<\frac{c+a-2b}{a+b-2c}<0 \\ -a-b+2c<c+a-2b<0$$

La resolución de la primera mitad de la desigualdad anterior es decir, $c+a-2b<0$ probará instrucción 2 para ser verdad.

La solución de la otra mitad de la desigualdad es decir, $-a-b+2c < c+a-2b$ probará instrucción 1 a falso, como nuestros resultados son $b+c<2a$.

Pero yo no soy capaz de encontrar el razonamiento de la cuarta declaración. Mi trabajo para probar la existencia de 4 de declaración a true:

Como $a,b,c$ son todos positivos y la suma de la raíz para $ax^2+2bx+c$ es $\alpha+\beta=-2b/a$. Esto demuestra que al menos uno de la raíz es negativo. El producto de la raíz es $\alpha\beta=c/a$ como $c/a$ es positivo, esto indica que tanto las raíces son negativos.

si el discriminante de la $ax^2+2bx+c$ es > 0 sólo entonces esta ecuación tiene raíces reales. ¿Cómo puedo probar que el discriminante $D=b^2-4ac>0$?

Answer 1

Edificio en su trabajo :- Se ha encontrado que $$2b>a+c... (1)$$ $$2a>b+c...(2)$$ Note that $ax^2+2bx+c$ has all positive coefficients , there fore the parabola of this quadratic equation will have its vertex in the negative X - direction (${-b\más de 2a} <0$ and we will have an upturned parabola ($>0$) and Y-intercept of the parabola will be positive ($c>0$).

El análisis de las características anteriores, sólo hay dos contendientes parábolas ($A$ e $B$ en el diagrama)

Tenga en cuenta que (1) puede reordenarse $a-2b+c <0$ que no es nada pero f(-1) o el valor de y en x=-1 , por lo tanto, el caso B es la correcta y que la ecuación tiene tanto negativo raíces.