¿Cómo podemos probar que cualquier integral en el conjunto de integrales no elementales no puede expresarse en forma de funciones elementales?

Question

Sabemos que la derivada de algunas funciones no elementales se puede expresar en funciones elementales. Por ejemplo $ \frac{d}{dx} Si(x)= \frac{\sin(x)}{x} $

De modo similar, ¿existen funciones no elementales cuyas integrales se puedan expresar en funciones elementales?

Si no es así, ¿cómo podemos probar que cualquier integral en el conjunto de integrales no elementales no puede expresarse en forma de funciones elementales?

Answer 1

La derivada de una función primaria es una función primaria: el estándar de Cálculo 1 diferenciación de los métodos que pueden ser usados para encontrar este derivado. Así que una antiderivada de una no-elemental función no puede ser primaria.

EDIT: Más formalmente, por definición elemental de la función se obtiene a partir de complejo constantes y la variable $x$ por un número finito de pasos de las siguientes formas:

1. Si $f_1$ e $f_2$ son funciones elementales, a continuación, $f_1 + f_2$, $f_1 f_2$ y (si $f_2 \ne 0$) $f_1/f_2$ son primarias.
2. Si $P$ no es una constante del polinomio cuyos coeficientes son funciones elementales, entonces una función de $f$ tal que $P(f) = 0$ es una función primaria.
3. Si $g$ es una función primaria, a continuación, una función de $f$ tal que $f' = g' f$ o $f' = g'/g$ es de la primaria ( $e^g$ e $\log g$ son de primaria).

Para demostrar que la derivada de una función primaria, puede utilizar la inducción sobre el número de estos pasos. En la inducción de paso, supongo el resultado es cierto para funciones elementales obtenidos en la mayoría de los $n$pasos. Si $f$ puede ser obtenida en $n+1$ pasos, el último ser $f = f_1 + f_2$ donde $f_1$ e $f_2$ requieren, cada uno, en la mayoría de las $n$ pasos, a continuación, $f' = f_1' + f_2'$ donde $f_1'$ e $f_2'$ son primarias, y por lo tanto $f'$ es elemental. Lo mismo para las otras posibilidades para el último paso.

Answer 2

No, la derivada de una función elemental es elemental; Algunas integrales se definieron específicamente como la antiderivada de ciertas funciones porque de otra manera esa función no tendría antiderivada de forma cerrada.

Un anti-derivado de una función no elemental no puede ser una función elemental.

Answer 3

Sí, y me puede proporcionar un contra-ejemplo.

Deje $f(x)$ ser piece-wise definido de tal forma que $f(x) = x^2$ para $x \neq 0$ que $f(0) = 300$.

Esta no es una función primaria. Sin embargo, su integral es $F(x) = \frac {1}{3}x^3 + c$ que es elemental.

Para un poco más "no primarias" ejemplo que acabo de hacer $f(x) = -500$ siempre $x$ es un múltiplo entero de $n = 0.0001$. Siéntase libre de mantener la disminución de $n$ para hacer la función más complicada y confusa.

Sin embargo, si desea un continuo no primaria $f$ luego que no. Si $f$ es continua entonces por uno de los teoremas fundamentales del cálculo $F'(x) = f(x)$ y la derivada de una función primaria es una función primaria. Además, si desea que $f$ es una parte integral de algunos otros $h$ luego de ello se sigue que $f$ es continua como la integral de cualquier función con valores reales definida en todas partes es una función continua. Así que esto sólo funcionará con discontinuo $f$'s que no son las integrales de funciones.

En resumen, el conjunto de derivadas de funciones elementales $\neq$ el conjunto de anti-integrales de funciones elementales.