Existencia de una transformación inversa particular.

Question

Deje $h : \mathbb{R}^D \rightarrow \mathbb{R}^d$, donde $d < D$, ser una función derivable. Me gustaría encontrar un mínimo de condiciones bajo las cuales existe una función derivable $g : \mathbb{R}^{D} \rightarrow \mathbb{R}^{D-d}$ tales que la función de $f : \mathbb{R}^D \rightarrow \mathbb{R}^D$ definido por $f(x)=(h(x)^\top, g(x)^\top)^\top$ es invertible. Si es posible, también me gustaría obtener una construcción de esta $g$ función. Mi hipótesis es que las siguientes condiciones puede ser suficiente, pero no estoy seguro:

-$h$ es surjective.

-$h$ no pueden tener el mismo valor en un conjunto con los no-cero de la medida, es decir, por cada $y \in \mathbb{R}^{d}$, la $h^{-1}(\{y\})=\{x\in\mathbb{R}^D : h(x)=y\}$ tiene medida de Lebesgue 0.

La primera condición es que sea claramente necesario, y la razón por la que creo que la segunda condición puede ser suficiente, es la siguiente:

En orden para $f$ a sea invertible, $f^{-1}(\{z\})$ tiene que ser un singleton para cada $z \in \mathbb{R}^D$. Si $g$ fue tal que $g(x_1)\neq g(x_2)$ por cada $x_1$ e $x_2$ tal que $h(x_1)=h(x_2)$, que sería la de asegurarse de que $f^{-1}(\{z\})$ es de hecho un singleton para cada $z \in \mathbb{R}^D$. Mi intuición es que la segunda condición, se podría asegurar que ese $g$ función que realmente existe. Además, en el caso de $g$ existe que también hace $f$ surjective, el resultado se sigue.

Cualquier ayuda sería muy apreciada, ya sea en prueba de mi anterior conjetura, refutar, o la prestación no trivial suposiciones acerca de $h$ , que resultaría en la existencia de $g$.

Muchas gracias!

Answer 1

Suponga que una función requerida $f$ existe. Desde $f$ es diferenciable, es continuo, de modo que por la invariancia de dominio, $f$ es un homeomorphism.

A continuación, para cada una de las $t\in\Bbb R^{D-d}$ una restricción $f^{-1}|\Bbb R^{d}\times\{t\}$ es un homeomorphism en la imagen $L_t=f^{-1}(\Bbb R^{d}\times\{t\})$. Pero $f(x)=(h(x)^\top, g(x)^\top)^\top= (h(x)^\top, t^\top)^\top$ por cada $x\in L_t$. Por lo tanto $h|L_t$ es un homeomorphism en la imagen. Vamos a llamar a un subconjunto $L$ de $\Bbb R^D$ una $h$-capa, si $h|L:L\to\Bbb R^d$ es un homeomorphism en la imagen. Así tenemos que $\Bbb R^D$ es un discontinuo de la unión de $h$-capas.

También para cada una de las $s\in\Bbb R^d$ un conjunto $h^{-1}(s)=f^{-1}(\{s\}\times \Bbb R^{D-d})$ es un homeomórficos imagen de un espacio de $\Bbb R^{D-d}$.

Ambas condiciones pueden fallar por una función de la satisfacción de la conjetura. Por ejemplo, supongamos $D=2$, $d=1$, e $h(x,y)=x^3-x$ por cada $(x,y)\in\Bbb R^D$. Entonces no hay $h$ capas. De hecho, vamos a $L$ ser conectado conjunto tal que $h(L)=\Bbb R^d$. Entonces existe $y_{-1}$ e $y_1$ en $\Bbb R$ , de forma que ambos puntos de $p_{-1}=(-1,y_{-1})$ e $p_1=(1,y_{1})$ pertenece a $L$. Pero $h(p_{-1})=h(p_1)$, lo $L$ no es un $h$-capa. La segunda condición es violado debido a que un conjunto $h^{-1}(0)=\{(x,y):x\in\{-1,0,1\},y\in\Bbb R\} $ se desconecta y por lo tanto no homeomórficos a $\Bbb R^{1}$.

Por otra parte, puede comprobarse fácilmente que ambas particiones de $\Bbb R^D$ a $h$-capas y preimages $h^{-1}(s)$ son paralelas (ver [BH] para una definición) con respecto a una métrica $d$ tal que $d(x,y)=\|f(x)-f(y)\|$ por cada $x,y\in\Bbb R^D$. A continuación, de manera similar a la prueba de la implicación $(1)\Rightarrow (2)$ en el Teorema 1 de [BH], podemos mostrar que cada una de estas particiones $\mathcal C$ es semicontinua inferior y de forma compacta superior semicontinuo. El segundo significa que para cada subconjunto compacto $F$ de $\Bbb R^D$ su $\mathcal C$estrellas, $St(F;\mathcal C)$ es cerrado en $\Bbb R^D$.

Supongo que podemos fortalecer las anteriores condiciones necesarias, si definimos un $h$-capa $L$ como submanifold de $\Bbb R^D$ tal que $h|L$ es un diffeomorphism, y que necesitan un conjunto de $h^{-1}(s)$ para $s\in\Bbb R^d$ es un submanifold y un diffeomorphic imagen de un espacio de $\Bbb R^{D-d}$. Pero yo no investigar este tema porque soy un general topologist, no un diferencial.

Referencias

[BH] Taras Banakh, Olena Hryniv, Un paralelo metrization teorema, Revista europea de Matemáticas (2019), 1-4.