Patrones enigmáticos en espirales arquimedianos.

Question

La distribución de los números naturales como los círculos de manera uniforme a lo largo de la espiral de Arquímedes rendimientos sorprendentes patrones al cambiar el radio de los círculos: cubren más y más de el avión, finalmente, cubriéndolo completamente. Pero poco antes de que esto suceda, más o menos evidentes y patrones intrincados poco, y me gustaría entender.

Los números están ordenados por estas fórmulas con $\hat k = \frac{\sqrt{k}}{2}$

$$x_\alpha(k) = -\hat k\cos(\alpha\cdot 2 \pi\cdot \hat k)$$ $$y_\alpha(k) = -\hat k\sin(\alpha\cdot 2 \pi\cdot \hat k)$$

– la distancia entre números consecutivos a lo largo de la espiral de ser controlada por el parámetro $\alpha$.

Esto es cómo el número de espirales para $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, 1, \sqrt{2}, 2,2 \sqrt{2},4, \ldots = \sqrt{2}^k$:

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Cuando el radio de los círculos es ampliada hasta casi cubrir el plano, se observan diferentes patrones de punto: una espiral, una cruz con $8$-veces rotación simetría, otra cruz con $4$-veces rotación simetría y una serie de rayas horizontales.

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Cuando comparamos $\alpha = 0.99, 1, 1.01$ vemos que la recta de la cruz para $\alpha = 1$ es el límite de dos paquetes de ocho espirales corriendo en direcciones opuestas.

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Aquí está mi pregunta:

¿Cómo puede la cruz con el 8-simetría de rotación (para $\alpha=1$) se explica? (" $\alpha=1$ Hay una cruz con un 8 veces simetría rotacional, porque.....")

Tenga en cuenta que para $\alpha=1$ el cuadrado de los números se alinean a lo largo del eje horizontal:

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Una observación final: Los patrones observados venir como una sorpresa (de alguna manera), porque "la distancia" de la espiral se ve casi como un conjunto de círculos concéntricos y por tanto aparentemente total simetría rotacional. Pero en realidad, la espiral no tiene simetría rotacional (sólo para 360°). Y el constante cambio de los patrones son debido a este hecho: los círculos concéntricos de mostrar sólo los patrones que reflejan la densidad de los números a lo largo de ellos.

En este ejemplo, la densidad es $10$ por $2\pi$. Nota cómo el triángulo de números (en comparación con el cuadrado de los números en el caso de la espiral) están dispuestas a lo largo de la línea horizontal. Deje $\triangle(k) = \frac{k(k+1)}{2}$ tomar los valores de $0,1,3,6,10,15,\dots$ Podemos observar a lo largo de la línea horizontal $n(k) = 10\triangle(k) + 1$ (a la derecha) y $m(k) = n(k) + 5k$ (a la izquierda):

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Para ver cómo la espiral de los patrones de continuar aquí para $\alpha = 4\sqrt{2}, 8, 8\sqrt{2}$:

Hay un poco de vídeo de Youtube donde se puede ver el número de espiral en constante cambio para $\alpha$ pasando de 1 a 4.

Answer 1

Permítanme tratar. Vemos un patrón donde no hay mucho espacio entre los círculos. Esto sucede cuando los círculos están alineados uno con el otro, así que cuatro vecinos círculos de hacer una aproximación rectángulo.

En el $n$'th revolución partir de la positiva $x$-eje, hay $(2n+1)^2-(2n-1)^2 = 8n$ círculos. Esto significa que podemos dividir la revolución en 8 partes con $n$ círculos de cada uno, y los círculos deben alinearse con otros en cada división (y en ningún otro lugar). Esto se explica por el patrón.

Has probado a hacer un patrón circular con $8n$ números en cada círculo? Sospecho que el mismo patrón de resultados (si la distancia entre los círculos concéntricos son elegidos adecuadamente).

Esto también explica la otra simétrica de los patrones. Podemos trabajar que si $\alpha = \sqrt 2^c$ para $c\le 3$, entonces los círculos que se encuentran justo antes de que el positivo $x$-eje se $k=2^{-c}\cdot((2n+1)^2-1) = 2^{2-c}\cdot n\cdot(n+1)$, lo que implica que habrá $2^{3-c}\cdot n$ círculos en el $n$'th revolución. Esto significa que los círculos están alineados justo debajo de la positiva $x$-eje, y tenemos $2^{3-c}$-simetría de rotación. Esto coincide con lo que observamos en sus parcelas, las cuales corresponden a $-1 \le c \le 4$. ($c=4$ no se explica por mi cálculo). Creo que se puede ver la simetría de 16 veces en la primera parcela, si entrecerrar los ojos un poco.

Answer 2

Para dar algunos visual de azúcar para el usuario Milten agradable respuesta de encontrar aquí, destacó los números que hacen aproximado rectángulos. Podrás ver fácilmente el número de patrón y ver el papel que el número de $8$ obras de teatro, dando típico triángulo número de secuencias, como, por ejemplo, $a = 2,12,30,56,90,\ldots$ con $a_k = 8\triangle(k) + 2(k+1)$ o $b = 3,13,31,57,91,\ldots$ con $b_k = a_k +1$, $k=0,1,2,\ldots$.

Por el bien de la comparación del patrón circular con $8n$ números en cada círculo. El parecido de los números aproximados rectángulos:

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Lo que necesita ser demostrado analíticamente es que, por ejemplo, para los números de $a_{k},b_k, a_{k+1}, b_{k+1}$ hemos

$$|p(a_k) - p(b_k)| \approx |p(a_{k+1}) - p(b_{k+1})|$$

y

$$|p(a_k) - p(a_{k+1})| \approx |p(b_k) - p(b_{k+1})|$$

con $p(k) = \langle x(k), y(k)\rangle$ e $x(k) = -\hat k\cos(2 \pi\cdot \hat k)$, $y(k) = -\hat k\sin(2 \pi\cdot \hat k)$ e $\hat k = \frac{\sqrt{k}}{2}$.

Answer 3

Esta respuesta se complementa a la otra, uno por Milten; explica los patrones lineales en los diagramas. Primero, considere el caso de $\alpha=2$, que corresponde a la función de $z_k:=\sqrt{k}e^{2\pi i\sqrt{k}}$ (es diferente de OP función de por medio). Tomar diferentes casos de $k$.

(i) $k=n^2+m$. $$z_n=x_n+iy_n=\sqrt{n^2+m}\,e^{2\pi i\sqrt{n^2+m}}=\sqrt{n^2+m}\,e^{2\pi i n(1+\frac{m}{n^2})^{1/2}}\approx ne^{\pi im/n}$$ so $x_n\aprox n$, $y_n\aprox n(\frac{\pi m}{n}-\frac{m^3\pi^3}{6n^3})\approx\pi m-\frac{m^3\pi^3}{6n^2}$, that is $$y_n\approx \pi m-\frac{A}{x_n^2}\to \pi m$$ This explains the right-hand lines in OP's diagrams with $m=\ldots,-1,0,1,2,\ldots$.

(ii) $k=n^2+n+m$. $$z_n=\sqrt{n^2+n+m}\,e^{2\pi i\sqrt{n^2+n+m}}\approx (n+\tfrac{1}{2})e^{2\pi in}e^{\pi i}e^{\pi i m/n}\approx-(n+\tfrac{1}{2})e^{\pi im/n}$$ Esto es similar a la del caso (i), pero se refleja, por lo que las líneas aparecen en el lado izquierdo.

Ahora consideremos $\alpha=2\sqrt{2}$ que corresponde a $z_k:=\sqrt{k}e^{2\pi i\sqrt{2k}}$. El mismo tipo de análisis da $$z_n\approx n\,e^{2\pi im/n}$$