¿Por qué el espacio del cociente no es $X=\mathbb{R}^2/(\mathbb{R} \times \{0\})$ ¿primero contable?

Question

Considere el espacio de cociente $X=\mathbb{R}^2/(\mathbb{R} \times \{0\})$ Se supone que tengo que demostrar que no es contable en primer lugar. Me parece que este espacio es homeomorfo a dos triángulos abiertos unidos por sus vértices con ese punto añadido. Ese punto es el problemático, pero ¿por qué la colección de bolas abiertas con radios racionales descendentes centradas en este punto no se interseca con $X$ una base contable?

Gracias por sus respuestas.

Edición: He encontrado este problema en la página web de mi universidad. Hicimos este mismo problema en la escuela pero la primera contabilidad fue reemplazada por la compacidad local. Podría ser posible que el espacio es, de hecho, primero-contable, y la declaración del problema en el sitio web era incorrecta.

Answer 1

$\mathbb{R} \times \{0\}$ se colapsa hasta un punto $\ast \in X=\mathbb{R}^2/(\mathbb{R} \times \{0\})$ . Este punto no tiene una base contable de barrios abiertos.

$X$ está dotado de la topología del cociente. Esto significa que los vecindarios abiertos de $\ast$ están en un $1$ - $1$ -con subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^2$ que contiene $\mathbb{R} \times \{0\}$ . Denotemos la colección de estos conjuntos por $\mathfrak{U}$ .

Por lo tanto, como YuiTo Cheng señaló en sus comentarios, tenemos que demostrar que no existe una colección contable de conjuntos $U_ n \in \mathfrak{U}$ tal que para cada $U \in \mathfrak{U}$ , $U_n \subset U$ para algunos $n$ .

Consideremos cualquier colección contable de $U_ n \in \mathfrak{U}$ . Para cada $n \in \mathbb{N}$ existe un número $u_n > 0$ tal que $(n,u_n) \in U_n$ . El conjunto $D = \{(n,u_n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ está cerrado en $\mathbb{R}^2$ Por lo tanto $U = \mathbb{R}^2 \setminus D \in \mathfrak{U}$ . Pero por construcción no $U_n$ puede estar contenida en $U$ .

Observación:

Esto se generaliza como sigue. Sea $X,Y$ sean espacios topológicos tales que $X$ contiene un subconjunto infinito $A \subset X$ sin puntos límite y que $y \in Y$ sea un punto tal que $\{ y \}$ no está abierto en $Y$ . Entonces $(X \times Y)/(X \times \{ y \})$ no es primero contable.